[論文レビュー] Optimal Binary Locally Repairable Codes via Anticodes

Natalia Silberstein, Alexander Zeh|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、単体コードから導かれる反コードを用いて、局所性 r=2 および r=3 の最適な二進局所修理可能符号（LRC）の新規構成を提示する。生成行列から特定の列を削除することで反コードを形成し、その結果得られる符号は Cadambe–Mazumdar 界に達し、多くの場合 Griesmer 界にも達する。これにより、二進符号として最適な局所修理可能性と最大の最小距離を両立する。

ABSTRACT

This paper presents a construction for several families of optimal binary locally repairable codes (LRCs) with small locality (2 and 3). This construction is based on various anticodes. It provides binary LRCs which attain the Cadambe-Mazumdar bound. Moreover, most of these codes are optimal with respect to the Griesmer bound.

研究の動機と目的

• 局所性 r=2 および r=3 の小さな局所性を持つ最適な二進局所修理可能符号（LRC）を構成し、Cadambe–Mazumdar 界に達すること。
• 反コードに基づく手法を用いて、高い最小距離と効率的な局所修理可能性を有する二進 LRC の構成法を開発すること。
• 提案された符号が多くの場合 Griesmer 界にも達することを示し、追加の最適性を保証すること。
• Cadambe–Mazumdar 界および Griesmer 界の両方で最適な明示的構成を提供することで、従来の二進 LRC の研究を拡張すること。

提案手法

• 反コードに対応する列を削除することで、二進単体コードから修正された生成行列を導出する。
• 反コードは最大重みが制限されたベクトルの集合として定義され、これにより得られる符号が所望の局所性および距離特性を維持する。
• r=2 の場合、次元 m-2 の単体コードを反コードとして用いた Farrell の構成を適用し、長さ n = 2^m - 2^{m-2}、次元 k = m の符号が得られる。
• r=3 の場合、異なる反コード構造を用い、次元 m-3 の単体コードから導出され、パラメータ [n,k,d] = [2^m - 2^{m-3}, m, 2^{m-3}] の符号が得られる。
• r=2 の場合、F_2^s における2次元部分空間のインシデントベクトルを用いた部分空間符号に基づく構成が採用される。
• パリティ検査行列は、定数次元 2 かつ自明な距離を有するリフトド・ランクメトリック符号の符号語から構成され、局所性 2 の準巡回 LRC が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所性 r=2 および r=3 の最適な二進 LRC を、Cadambe–Mazumdar 界および Griesmer 界の両方に同時に達するように構成可能か？
• RQ2 どのような反コード構造が、小さな局所性と高い最小距離を有する二進 LRC の構成を可能にするか？
• RQ3 反コードに基づく Farrell の構成を、複数の界で最適な二進 LRC を得るようにどのように適合させられるか？
• RQ4 提案された構成により、局所修理可能であり、かつ長さと次元に関して最小距離の観点で最適な符号が得られるか？

主な発見

• 本構成により、すべての検討事例において Cadambe–Mazumdar 界に達する最適な二進 LRC（r=2 および r=3）が得られる。
• 定理 4 および定理 7 に由来する複数の符号族が、Griesmer 界に等号で達しており、追加の最適性を示している。
• s=5 の場合、定理 7 から得られる符号 [24,5,12] は Cadambe–Mazumdar 界および Griesmer 界の両方に達している。
• 定理 6 から得られる r=3 の符号 [31,6,15] は Cadambe–Mazumdar 界に最適であり、Griesmer 界にも達している。
• 部分空間符号に基づく構成により、r=2 の [3·2^{s-2}, s, 3·2^{s-3}] LRC の族が得られ、Cadambe–Mazumdar 界に最適である。
• 本手法は、反コード制約に基づく単体コードからの列削除のみを用いることで、局所性が小さいが最適パラメータを持つ二進 LRC の構成を従来のものより一般化している。