[論文レビュー] Optimal condition for blow-up of the critical $L^q$ norm for the semilinear heat equation

Noriko Mizoguchi, Philippe Souplet|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p>1$ および滑らかな領域 $\Omega$ の一般条件下において、半線形熱方程式 $u_t = \Delta u + |u|^{p-1}u$ の解の臨界 $L^{q^*}$ ノルムが、タイプ I の爆発を示す場合かつその場合に限り、爆発することを確立する。証明は類似変数、スケーリング、逆方向一意性、および放物型方程式の一意拡張を組み合わせており、既知のタイプ II の爆発解が臨界ノルムを有界に保つことから、この条件が本質的に最適であることを示し、長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We shed light on a long-standing open question for the semilinear heat equation $u_t = Δu + |u|^{p-1} u$. Namely, without any restriction on the exponent $p>1$ nor on the smooth domain~$Ω$, we prove that the critical $L^q$ norm blows up whenever the solution undergoes {\it type~I~blow-up.} A~similar property is also obtained for the local critical $L^q$ norm near any blow-up point. In view of recent results of existence of type~II blow-up solutions with bounded critical $L^q$ norm, which are counter-examples to the open question, our result seems to be essentially the best possible result in general setting. This close connection between type I blow-up and critical $L^q$ norm blow-up appears to be a completely new observation. Our proof is rather involved and requires the combination of various ingredients. It is based on analysis in similarity variables and suitable rescaling arguments, combined with {\it backward uniqueness and unique continuation properties} for parabolic equations. As a by-product, we obtain the nonexistence of self-similar profiles in the critical $L^q$ space. Such properties were up to now only known for $ p \le p_S $ and in radially symmetric case for $ p > p_S $, where $ p_S $ is the Sobolev exponent.

研究の動機と目的

• 半線形熱方程式の解が爆発する際、臨界 $L^{q^*}$ ノルムが必ず爆発するかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 一般の $p>1$ および滑らかな領域において、タイプ I の爆発が臨界 $L^{q^*}$ ノルム爆発の必要十分条件であることを確立すること。
• タイプ II の爆発解が $L^{q^*}$ ノルムを有界に保つ既知の反例と結びつけることにより、結果の最適性を示すこと。
• Sobolev の臨界指数 $p_S$ を超える範囲でも既知の結果を拡張し、臨界 $L^{q^*}$ 空間における自己相似型解の非存在を示すこと。
• 類似変数における精密な解析を展開し、逆方向一意性および一意拡張を用いて爆発基準を確立すること。

提案手法

• 変数変換 $v(s,y) = (T-t)^{\beta} u(t,x)$ および $s = -\log(T-t)$, $y = x/(T-t)^\beta$ を用いて、半線形熱方程式を類似変数に変換する。
• スケーリングの議論を適用し、爆発時刻付近における解の挙動を解析し、爆発点付近の局所的 $L^{q^*}$ ノルムに注目する。
• 放物型方程式の逆方向一意性を用いて、爆発時刻以降に領域で消える非自明な解が存在しないことを排除する。
• 一意拡張の性質（例：[17] より）を用いて、解の消滅を領域から全領域へ拡張する。
• 放物型正則性推定とアニュラス領域における一様な有界性を組み合わせ、タイプ I の爆発下で $L^{q^*}$ ノルムが有界であるという仮定から矛盾を導く。
• スケーリングされた解の漸近的挙動を解析し、$q^* = N(p-1)/2$ を満たす臨界空間 $L^{q^*}$ の構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半線形熱方程式の解がタイプ I の爆発を示す場合、臨界 $L^{q^*}$ ノルムは必ず爆発するか？
• RQ2 タイプ II の爆発解が一様に有界な $L^{q^*}$ ノルムを持つことは可能であり、その場合、$L^{q^*}$ ノルム爆発条件の必要性にどのような意味をもたらすか？
• RQ3 一般の領域およびすべての $p>1$ に対して、タイプ I の爆発が臨界 $L^{q^*}$ ノルム爆発の必要十分条件であるか？
• RQ4 逆方向一意性および一意拡張が、臨界 $L^{q^*}$ 空間における自己相似型解の非存在をどのように排除するか？
• RQ5 $p \leq p_S$ または回転対称性の既知のケースを超えて、$L^{q^*}$ 空間における自己相似型解の非存在を示すことは可能か？

主な発見

• 任意の $p>1$ および滑らかな領域 $\Omega$ に対して、臨界 $L^{q^*}$ ノルムは、解がタイプ I の爆発を示す場合かつその場合に限り、爆発する。
• 既知のタイプ II の爆発解（例：[46], [12] より）が一様に有界な $L^{q^*}$ ノルムを持つことから、この結果は最適である。すなわち、$L^{q^*}$ ノルムの爆発にはタイプ I の爆発が必須である。
• 本稿では、$p \leq p_S$ または回転対称性に限られていた既知の結果を拡張し、臨界 $L^{q^*}$ 空間における自己相似型解の非存在を証明する。
• 任意の爆発点付近における局所的臨界 $L^{q^*}$ ノルムもタイプ I の爆発下で爆発することを確認し、この基準の局所的性質を裏付ける。
• 証明は、類似変数、スケーリング、逆方向一意性、および一意拡張の新規な組み合わせに依拠しており、爆発の種別と $L^{q^*}$ 行動との間の新たな関係を確立する。
• $p>1$ や領域の幾何的性質に制限を設けず、一般かつ鋭い $L^{q^*}$ ノルム爆発基準を成立させる。