[論文レビュー] Optimal consumption and investment under transaction costs

David Hobson, Alex S. L. Tse+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、単一のリスク資産モデルにおける比例取引コストを伴うメルトン最適消費・投資問題を完全に解明する。著者らは、新たな順序低減技術を用いてハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式を1階自由境界問題に還元し、最適戦略（取引なしウィーク）がモデルのパラメータから形成される2次関数にのみ依存することを示している。解の構造は、その2次関数の値と勾配が重要な点で定まる。

ABSTRACT

In this article we consider the Merton problem in a market with a single risky asset and transaction costs. We give a complete solution of the problem up to the solution of a free-boundary problem for a first-order differential equation, and find that the form of the solution (whether the problem is well-posed, whether the problem is well-posed only for large transaction costs, whether the no-transaction wedge lies in the first, second or fourth quadrants) depends only on a quadratic whose co-efficients are functions of the parameters of the problem, and then only through the value and slope of this quadratic at zero, one and the turning point. We find that for some parameter values and for large transaction costs the location of the boundary at which sales of the risky asset occur is independent of the transaction cost on purchases. We give both a mathematical and financial reason for this phenomena.

研究の動機と目的

• 比例取引コストを伴う単一リスク資産設定におけるメルトン問題の完全な解析的解を提供すること。
• 新たな順序低減技術を用いて2階HJB方程式を1階自由境界問題に再定式化すること。
• モデルパラメータから導出される1つの2次関数を用いて、最適取引なしウィーク（購入・売却境界）を特徴付けること。
• 取引なし境界の比較静的分析を確立し、それらが2次関数のゼロ、1および転点における挙動に依存することを示すこと。
• 大規模な取引コストにおいて、売却境界が購入取引コストに依存しないことの数学的および金融的説明を提示すること。

提案手法

• 解を独立変数とする変換により、2階HJB方程式を1階ODEに変換し、順序低減を実現する。
• ODEを表す非線形作用素L(x, f, f)を定義し、f(x)を変換座標系における価値関数として表す。
• 反復近似(fn)と単調収束を用いて解fの存在性と連続性を確立し、パラメータに依存する係数から導かれる境界を導出する。
• 係数関数a(x, f)のfに関するリプシッツ性に基づく比較論法を用いて、解の一意性を証明する。
• 漸近的解析を用いて、ゼロ近傍における解の挙動を特定し、lim_{x↓0} x^{-2}η(x) = b(0)/A(0)が成り立ち、η′(0) = 0であることを示す。
• 位相空間解析と積分条件を適用し、正しい自由境界解を同定し、それを資産価値空間における取引なしウィークに結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適取引なしウィークの構造（すなわち、それが資産価値空間の第1、第2、または第4象限にあるかどうか）は、モデルパラメータにどのように依存するか？
• RQ2 問題がすべての取引コスト水準で適切に定義される条件、あるいは大規模なコストに限ってのみ定義される条件は何か？
• RQ3 コストが大きい場合に売却境界が購入取引コストに依存しなくなるのはなぜか？その背後にある数学的および金融的メカニズムは何か？
• RQ4 自由境界問題の解は1つの2次関数によって特徴付けられるか？その性質（特に、重要な点における値と勾配）が解の形をどのように決定するか？
• RQ5 提案されたプライマルアプローチは、従来のデュアル法やシャドウプライス法に比べて、解釈可能性および比較静的分析の観点でどのように分析を簡略化するか？

主な発見

• 最適戦略は、モデルパラメータから導出される1つの2次関数によって完全に特徴付けられ、解の定性的な挙動は、その2次関数がゼロ、1および転点における値と勾配にのみ依存する。
• 大規模な取引コストにおいて、売却が発生する境界は購入取引コストに依存せず、ODEの構造的性質と最小限の取引頻度要請という観点から、数学的および金融的両面で説明可能である。
• 自由境界問題の解は一意的かつ連続的に微分可能であり、lim_{x↓0} x^{-2}η(x) = b(0)/A(0)が成り立ち、η′(0) = 0である。
• 本手法により、複雑なプライマルHJB問題が扱いやすい1階ODEに低減され、楕円または双曲線を含む位相図に基づく従来の手法とは対照的に、より単純な代替手法が提供される。
• 著者らは、取引なし境界の比較静的分析を確立し、リスク回避度、リターン率、ボラティリティの変化に伴う境界のシフトを示した。
• 解析により、解が適切に定義されるのは、2次関数の重要な点における勾配と値が特定の条件を満たす場合に限られ、その条件がウィークが資産価値空間の第1、第2、または第4象限にあるかどうかを決定することが確認された。