[論文レビュー] Optimal Control for Discrete-time Markov Jump Linear System with Control Input Delay

Chunyan Han, Hongdan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制御入力遅延を伴う離散時間マルコフ跳躍線形系（MJLS）における有限区間最適制御のための新規な解析的解法を提示する。著者らは、改良された遅延付き前向き・後向き跳躍パラメータ差分方程式とdステップ後向き公式を導入することで、最適性の必要十分条件を導出し、現在および過去の状態と制御の線形関数として表される明示的制御則を導出する。この制御則のフィードバックゲインは、新たな結合差分リカチ方程式を用いて計算される。

ABSTRACT

This paper deals with the finite horizon optimal control problem for discrete-time Markov jump linear system with input delay. The correlation among the jumping parameters and the input delay are considered simultaneously, which forms the basic difficulty of the design. one of the key techniques is to solve a delayed forward and backward jumping parameter difference equation which is obtained by an improved maximum principle, and the other is the introduction of a "d-step backward formula". Based on the proposed techniques, a necessary and sufficient condition for the existence of the optimal controller is given in an explicit form and an analytical solution to the optimal controller is supplied. The optimal controller is a linear function of the current time state and the historical time control input, where the feedback gains are a set of jumping parameter matrices derived by solving a new type of coupled difference Riccati equation. The key step in the derivation is to establish the relationship between the costate and the real state of the system. The result obtained in this paper can be viewed as a generalization of the standard case, in which there is only one mode of operation.

研究の動機と目的

• 制御入力に確率的遅延が生じる離散時間マルコフ跳躍線形系（MJLS）における最適制御の課題に対処すること。
• 跳躍パラメータと入力遅延の相関が生じる二重の困難さを克服し、標準的動的計画法および分離原理が無効となる状況を扱うこと。
• 分離に依存せずに、確率的最適性原理に基づく直接的アプローチを用いて明示的最適制御則を導出すること。
• 最適制御則の存在に対する必要十分条件を閉形式で確立すること。
• 標準的MJLS最適制御理論を遅延入力の場合に一般化し、乗法的ノイズと遅延を有する確率的系へと拡張すること。

提案手法

• コストート動的における入力遅延を扱うために、改良された遅延付き前向き・後向き跳躍パラメータ差分方程式（D-FBJPE）を導入する。
• 跳躍パラメータと遅延制御入力の相関を解消するためのdステップ後向き公式を提案する。
• 修正された確率的最適性原理を適用し、最適性の必要条件を導出し、コストートと状態動的の関係を確立する。
• 最適制御則の時間変動型フィードバックゲインを導出する新たな種類の結合差分リカチ方程式を導出する。
• 後向き帰納法と条件付き期待値を用いて、コストートを現在および過去の状態で表現し、明示的制御則合成を可能にする。
• 最適制御則の存在のための鍵となる条件として、行列 $ W_{l_{k-d}} $ の可逆性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御入力が確率的遅延を受ける離散時間MJLSにおいて、最適制御をどのように達成できるか？
• RQ2 マルコフ的跳躍パラメータと入力遅延が同時に存在する状況を扱うために、どのような数学的技法が必要か？
• RQ3 このクラスのシステムに対して、最適制御則の存在に関する必要十分条件を閉形式で導出できるか？
• RQ4 入力遅延とマルコフ的スイッチングが存在する状況で、コストートはシステム状態とどのように関係するか？
• RQ5 最適制御則の構造はどのようなものか？ また、そのフィードバックゲインはどのようにして効率的に計算できるか？

主な発見

• 最適制御則は、現在の状態と歴史的制御入力の線形関数であり、フィードバックゲインは新たな結合差分リカチ方程式から得られる。
• 最適制御則の存在は、すべての $ k $ およびモード $ l_{k-d} $ に対して行列 $ W_{l_{k-d}} $ が正定値であるときにかつそのときに限り保証される。
• コストート $ \lambda_{k-1} $ は、将来の状態の条件付き期待値の線形結合として表現され、dステップ後向き公式から導出される係数を有する。
• 制御則構造は、時間変動型ゲイン行列を用いて過去の制御入力を組み込むことで、入力遅延を明示的に扱っている。
• 新たなリカチ型方程式系を用いることで、遅延効果を組み込んだ、標準的MJLS最適制御理論の一般化が達成された。
• 導出過程により、コストートと実際の状態との間の明確な関係が確立され、これはマルコフ的スイッチング下での遅延系の解法に不可欠である。