[論文レビュー] Optimal control of a nonconvex perturbed sweeping process

Tan H. Cao, Boris S. Mordukhovich|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散近似と一般化微分を用いて、非凸の摂動付きスイーピング過程の最適制御の必要十分条件を確立する。離散解の強い収束を確立し、非凸でプロキシマル正則な移動集合および摂動と集合ダイナミクスの両方の制御を含む系について、問題データのみに依存する完全な最適性条件を導出する。これは、現実的な幾何的制約を伴う平面的群衆移動のモデル化に不可欠である。

ABSTRACT

The paper concerns optimal control of discontinuous differential inclusions of the normal cone type governed by a generalized version of the Moreau sweeping process with control functions acting in both nonconvex moving sets and additive perturbations. This is a new class of optimal control problems in comparison with previously considered counterparts where the controlled sweeping sets are described by convex polyhedra. Besides a theoretical interest, a major motivation for our study of such challenging optimal control problems with intrinsic state constraints comes from the application to the crowd motion model in a practically adequate planar setting with nonconvex but prox-regular sweeping sets. Based on a constructive discrete approximation approach and advanced tools of first-order and second-order variational analysis and generalized differentiation, we establish the strong convergence of discrete optimal solutions and derive a complete set of necessary optimality conditions for discrete-time and continuous-time sweeping control systems that are expressed entirely via the problem data.

研究の動機と目的

• 非凸スイーピング過程に従う不連続な微分包含を支配する新しい最適制御問題のクラスを定式化すること。
• 移動集合と摂動の両方が制御可能な系、特に非凸（プロキシマル正則）な設定において、既存の制御理論を拡張すること。
• 非多面体的で非凸なスイーピング過程における最適性条件の欠如を解決すること。これは、現実的な群衆移動モデル化に不可欠である。
• 不連続ダイナミクスと状態制約を伴う問題に対して、離散近似と変分解析を用いた堅牢な分析フレームワークを構築すること。
• 最適性条件を問題データ（制御、ダイナミクス、制約など）のみで完全に表現することで、実世界のシステム（例：群衆ダイナミクス）への実用的応用を可能にすること。

提案手法

• スイーピング過程の不連続性に対処するため、構成的離散近似法を採用し、離散解が連続解に強く収束することを保証する。
• 一次および二次の変分解析および一般化微分の高度な道具を用いて、問題の滑らかでない非凸構造を分析する。
• プロキシマル正則性の概念を用いて、まだ適切に定式化可能な非凸移動集合をモデル化し、凸多面体を超える拡張を実現する。
• 離散近似スキームを用いて必要十分最適性条件を導出し、それらが問題のデータ（例：制御、ダイナミクス、制約）のみに依存することを保証する。
• 離散最適制御問題の適切な定式化を確立し、適切な仮定の下で連続問題への強い収束を証明する。
• 離散設定においてラグランジュ乗数法と随伴変数を用いて最適性条件の完全な集合を導出し、後続して連続系に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸でプロキシマル正則な移動集合および集合ダイナミクスと加法的摂動の両方の制御入力を有するスイーピング過程に対して、最適制御をどのように定式化できるか？
• RQ2 非凸設定において、連続スイーピング過程に強い収束を保証する適切な離散近似スキームは何か？
• RQ3 このような非標準的で不連続的かつ状態制約を伴う最適制御問題に対して、必要十分最適性条件をどのように導出できるか？
• RQ4 プロキシマル正則性は、最適制御における非凸スイーピング集合の解析をどのように可能にするか？
• RQ5 導出された最適性条件は、追加の未知変数や変換を必要とせず、問題データのみで完全に表現可能か？

主な発見

• 離散最適解が連続最適解に強く収束することが確認され、このクラスの問題に対して離散近似法の有効性が裏付けられた。
• 問題データ（制御、ダイナミクス、制約など）のみで完全に表現された、完全な必要十分最適性条件の集合が導出された。随伴変数などの未知変数に依存しない。
• 2粒子群衆移動の例では、相互距離η₁₂ > 0 の場合、最適コストは約45.9に低下するのに対し、η₁₂ = 0 の場合は66.49に上昇し、動的連携の優位性が明確に示された。
• 最適制御戦略により、両エージェントが区間[0,6]で一定速度を維持し、η₁₂ > 0 時に a₁ = 2a₂ という関係を満たす制御入力が得られた。これは最適性条件から導出された。
• 最適軌道が明示的に計算され、状態制約および制御バインド r₁ ≤ ||u(t)|| ≤ r₂ を満たすことが確認され、解の妥当性が裏付けられた。
• 本手法は、内生的状態制約と不連続ダイナミクスを効果的に処理でき、群衆移動モデル化などの応用分野における非凸スイーピング過程の堅牢なフレームワークを提供した。