[論文レビュー] Optimal control of a phase field system of Caginalp type with fractional operators

Pierluigi Colli, Gianni Gilardi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、スペクトル的意味における分数階微分作用素を有するCaginalp型相場系に対する分散最適制御を研究する。制御-状態写像のフレシェ微分可能性を確立し、随伴系と変分不等式を用いて一次の必要最適性条件を導出することで、非保存的かつ非等温的相転移を分数拡散で制御する理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

In their recent work ``Well-posedness, regularity and asymptotic analyses for a fractional phase field system'' (Asymptot. Anal. 114 (2019), 93--128), two of the present authors have studied phase field systems of Caginalp type, which model nonconserved, nonisothermal phase transitions and in which the occurring diffusional operators are given by fractional versions in the spectral sense of unbounded, monotone, selfadjoint, linear operators having compact resolvents. In this paper, we complement this analysis by investigating distributed optimal control problems for such systems. It is shown that the associated control-to-state operator is Fréchet differentiable between suitable Banach spaces, and meaningful first-order necessary optimality conditions are derived in terms of a variational inequality and the associated adjoint state variables.

研究の動機と目的

• スペクトル的意味における分数階微分作用素を有するCaginalup型相場系の最適制御を扱う。
• 分数階相場系に関する既存の適切性および正則性結果を、最適制御設定へと拡張する。
• 状態および制御の制約を伴うトレーキング型コスト関数に対して、一次の必要最適性条件を導出する。
• 適切なバナッハ空間間における制御-状態作用素のフレシェ微分可能性を確立する。
• 随伴系と、随伴変数を含む変分不等式を用いて最適制御を特徴付ける。

提案手法

• 非有界で自己随伴かつ単調な作用素の分数階累乗を有するCaginalup型相場系に対する分散最適制御問題を定式化する。
• 状態と制御の係数を伴うトレーキング型コスト関数を用い、制御にボックス制約 $ u \in U_{\text{ad}} $ を課す。
• 制御-状態作用素を用いて制御を状態系の解へ写像し、そのフレシェ微分可能性を証明する。
• 時間的に逆方向に進む随伴系を導出し、双対変数 $ q $, $ p $ およびラグランジュ乗数 $ \Lambda $ を含む。
• 随伴変数と制御を含む変分不等式を通じて一次の最適性条件を確立する。
• ソボレフ空間およびルベーグ空間におけるコンパクト性および弱収束の議論を用いて、正則化された問題における極限に移行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、分数階拡散を有するCaginalup型相場系に対する最適制御を定式化できるか？
• RQ2 状態および制御の制約を伴うこのような制御問題に対して、一次の必要最適性条件は何か？
• RQ3 分数階作用素の文脈において、制御-状態写像はフレシェ微分可能か？
• RQ4 随伴変数および変分不等式は、最適制御をどのように特徴付けるか？
• RQ5 正則化された問題の極限において、最適性系はどのように導出可能か？収束により元の系を満たすか？

主な発見

• 分数階Caginalup系に付随する制御-状態作用素は、適切なバナッハ空間間でフレシェ微分可能である。
• 一次の必要最適性条件は、随伴状態変数を含む変分不等式の形で導出された。
• 随伴系は、$ q $ に対する後向き時間発展方程式、$ p $ に対する状態方程式、およびラグランジュ乗数 $ \Lambda $ を含む変分不等式から成る。
• 最適制御は、すべての許容可能な制御 $ \bar{u} \in U_{\text{ad}} $ に対して $ \int_Q (q + \beta_5 u)(u - \bar{u}) \geq 0 $ を満たす変分不等式を満たす。
• 弱収束および強収束を用いた関数空間における正則化解の収束が確立され、極限が最適性系を満たすことが保証される。
• 二重井戸ポテンシャル（正則、対数的、または二重障害型）に対して標準的な仮定が成り立ち、不連続な場合の部分微分の取り扱いが適切に行われる。