[論文レビュー] Optimal Control of Large-Scale Networks using Clustering Based Projections

Nan Xue, Aranya Chakrabortty|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、大規模なネットワーク化システムに対する低次元LQRコントローラーを設計するためのクラスタリングに基づく射影手法を提案する。この手法により、計算コストと通信コストを顕著に低減できる。状態を構造的行列 $ P $ を用いてクラスタに投影することで、$ \mathcal{H}_2 $-ノルム誤差最小化問題を定式化し、これを解ける最適化問題に緩和する。その結果、完全次元LQRに比べてはるかに少ない通信リンクを必要とする階層的二層構造のコントローラーが得られる。

ABSTRACT

In this paper we present a set of projection-based designs for constructing simplified linear quadratic regulator (LQR) controllers for large-scale network systems. When such systems have tens of thousands of states, the design of conventional LQR controllers becomes numerically challenging, and their implementation requires a large number of communication links. Our proposed algorithms bypass these difficulties by clustering the system states using structural properties of its closed-loop transfer matrix. The assignment of clusters is defined through a structured projection matrix P, which leads to a significantly lower-dimensional LQR design. The reduced-order controller is finally projected back to the original coordinates via an inverse projection. The problem is, therefore, posed as a model matching problem of finding the optimal set of clusters or P that minimizes the H2-norm of the error between the transfer matrix of the full-order network with the full-order LQR and that with the projected LQR. We derive a tractable relaxation for this model matching problem, and design a P that solves the relaxation. The design is shown to be implementable by a convenient, hierarchical two-layer control architecture, requiring far less number of communication links than full-order LQR.

研究の動機と目的

• 大規模なネットワーク化システム（数万の状態変数を有する）において、完全次元LQRコントローラーを設計・実装する際の計算および通信のボトル neck を解消すること。
• 完全次元コントローラーと射影された低次元コントローラー間の $ \mathcal{H}_2 $-ノルム誤差を最小化するモデルマッチングフレームワークを構築すること。
• 自然なクラスタリング構造を尊重する低次元で実装可能なコントローラー構造を設計すること。
• 人工的な状態の分離を強制することなく、グローバルな安定性と動的性能を維持するスケーラブルで構造的なコントローラー設計を可能にすること。

提案手法

• 構造的射影行列 $ P \in \mathbb{R}^{r \times n} $ を用いて、$ n $ 個のシステム状態を $ r \ll n $ 個の重複のないグループにクラスタリングし、コントローラー設計の次元を $ n $ から $ r $ に低減する。
• 射影された $ r $ 次元システム上で低次元LQRコントローラーを設計し、設計行列を $ Q $, $ R $, および $ P $ で制約することで構造的一致性を確保する。
• 逆射影 $ P^T $ を用いて完全次元コントローラーを再構築し、低次元コントローラーを元の状態空間に戻す。
• 非凸な $ \mathcal{H}_2 $-ノルム誤差最小化問題を、誤差の上限を設定し、低ランク近似を適用する二段階問題に緩和することで、最適な $ P $ を特定する。
• 3つの変種を提案：固定された重みでのクラスタ割り当て最適化（重み付きk-meansを用い）、固定されたクラスタでの重み最適化（テンソルの主固有ベクトルまたは $ Z $-固有ベクトルを用い）、反復的で統合的な最適化。
• 得られたコントローラーは、完全次元LQRに比べてはるかに少ない通信リンクを必要とする階層的二層アーキテクチャを介して実装可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模ネットワークにおける低次元LQRコントローラーを設計可能か。その際、$ \mathcal{H}_2 $ 性能を維持しつつ通信オーバーヘッドを最小化できるか。
• RQ2 状態をクラスタに最適に割り当てることで、完全次元コントローラーと射影された低次元コントローラー間の $ \mathcal{H}_2 $-ノルム誤差を最小化できるか。
• RQ3 大規模なネットワーク化システムにおける $ P $-設計の非凸モデルマッチング問題の、実行可能な緩和法は何か。
• RQ4 コントローラー設計を、状態の分離を強制することなく、ネットワークトポロジーの自然なクラスタリングと結合性を保つように構造化できるか。

主な発見

• 提案手法により、完全次元LQRやスパarsity促進LQRに比べ、コントローラー実装に必要な通信リンク数を顕著に低減でき、スケーラブルな展開が可能になる。
• $ \mathcal{H}_2 $-ノルムの伝達関数誤差の上限が、残差射影のフロベニウスノルム $ \| (I - P^T P) \Phi^{1/2} \|_F $ の関数として導出され、定量的な性能保証が得られる。
• クラスタ割り当てを固定した場合、最適な射影重みは、オープンループ安定性に応じて、可制御性グラミアンの主固有ベクトルまたはテンソルの $ Z $-固有ベクトルを用いて得られることが示された。
• この手法は階層的二層制御アーキテクチャを介して実装可能であり、モジュラーかつスケーラブルな制御設計を可能にする。
• 緩和された最適化問題により、性能と複雑さのバランスが取れた実行可能な解が得られ、$ \mathcal{H}_2 $ 誤差に関する理論的上限が保証される。