[論文レビュー] Optimal Control of Longitudinal Motions for an Elastic Rod with Distributed Forces

Georgy Kostin, Alexander Gavrikov|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2022

Elasticity and Wave Propagation被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分布力および境界力が作用する一様な弾性棒の縦振動の最適制御に対する正確な解析解を提示する。旅行波を用いたモデル化と弱形式への再定式化により、1次元変分法を用いて、エネルギーの平均貯蔵量を最小化する明示的な最適制御則および動的場を導出する。可制御性時間は可解性条件によって決定される。

ABSTRACT

The study is devoted to mathematical modeling and optimal control design of longitudinal motions of a rectilinear elastic rod. The control inputs are a force, which is normal to the cross section and distributed piecewise constantly along the rod's axis, as well as two external lumped loads at the ends. It is assumed that the intervals of constancy in the normal force have equal length. Given initial and terminal states with a fixed time horizon, the optimal control problem is to minimize the mean mechanical energy stored in the rod. To solve the problem, two unknown functions are introduced: the dynamical potential and the longitudinal displacements. As a result, the initial-boundary value problem is reformulated in a weak form, in which constitutive relations are given as an integral quadratic equation. The unknown functions are both continuous in the new statement. For the uniform rod, they are found as linear combinations of traveling waves. In this case, all conditions on continuity as well as boundary, initial, and terminal constraints form a linear algebraic system with respect to the traveling waves and control functions. The minimal controllability time is found from the solvability condition for this algebraic system. After resolving the system, remaining free variables are used to optimize the cost functional. Thus, the original control problem is reduced to a one-dimensional variational problem. The Euler-Lagrange necessary condition yields a linear system of ordinary differential equations with constant coefficients supplemented by essential and natural boundary conditions. Therefore, the exact optimal control law and the corresponding dynamic and kinematic fields are found explicitly. Finally, the energy properties of the optimal solution are analyzed.

研究の動機と目的

• 分布力および境界力が作用する一様な弾性棒の縦振動の最適制御に対する正確な解析解の開発。
• 与えられた初期状態および終端状態の下で、固定時間区間内における棒に蓄えられる機械的エネルギーの平均を最小化すること。
• 波に基づく定式化を用いて、任意の初期状態および終端状態に対する最小可制御性時間の特定。
• 旅行波分解を介して、分布パラメータ最適制御問題を1次元変分問題に還元すること。
• 線形代数およびオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて、最適制御入力、変位、内部力を明示的に表現すること。

提案手法

• 動的ポテンシャルおよび縦方向変位の2つの未知連続関数を導入し、初期境界値問題を弱形式に再定式化する。
• 分布力はN個の等長区間に分け、各区間で区分定数としてモデル化し、制御入力をこれらの区間上での時変関数として表現する。
• 時空間メッシュを用いて、連続性、境界条件、初期条件および終端条件を旅行波振幅に関する線形代数的系として表現する。
• 一様な棒の場合、変位およびポテンシャルを旅行波の線形結合として表現することで、系の正確な解を得る。
• 問題を1次元変分問題に還元し、混合境界条件（必須および自然境界条件）を伴うオイラー＝ラグランジュ方程式を用いて最適制御則を導出する。
• 制御入力（f_k(t)）を制御積分（u_k(t)）の1階微分として再構成する。u_k(t)は連続的かつ区分的滑らかな時変関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布力および境界力が作用する一様な弾性棒を、与えられた初期状態から所定の終端状態へ移行させるために必要な最小時間は何か？
• RQ2 分布パラメータを持つ弾性棒の最適制御問題は、解析的に解ける1次元変分問題に還元可能か？
• RQ3 空間分割数（N）および時間離散化数（M）が、系の最小平均エネルギーに与える影響は何か？
• RQ4 最適制御入力および動的場の解析的構造は、旅行波の観点からどのように表現できるか？
• RQ5 制御素子数を増加させた際、最適解のエネルギー特性はどのように変化するか？

主な発見

• 最小可制御性時間は、波に基づく連続性および境界制約から導かれた線形代数的系の可解性条件によって決定される。
• 最適制御入力は、明示的に導出され、T = 2の場合、t = 0.5、1、1.5の3点で不連続性を示す区分的滑らか関数として得られる。
• 最適エネルギー関数 T·E(M,N) は、MおよびNの増加に伴い単調に減少し、Mに関する減少率は数ステップ後には無視可能になる。
• N = 2の場合、すべてのM ≥ 2に対して最適エネルギー値が一定に保たれ、空間離散化における飽和効果が示唆される。
• Nを増加させると、T·E(2,N) のマッピングが漸近的にある極限値に近づく傾向を示し、連続的分布制御の極限への収束が示唆される。
• 最適変位 v(t,x) は t = 2 でゼロとなり、エネルギーもゼロに達する。これにより、終端状態への完全な状態移行が確認される。