[論文レビュー] Optimal control of nonlinear systems governed by Dirichlet fractional Laplacian in the minimax framework

Dorota Bors|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、変分法とKy Fan定理を用いて、スペクトルディリクレート分数階ラプラシアンに従う非線形系における最適制御の存在を、ミニマックス枠組みで確立する。弱解の存在と制御パラメータへの連続的依存性が示され、ヒルベルト空間設定下で与えられたコスト汎関数を最小化する最適制御の存在が結論づけられる。

ABSTRACT

We consider an optimal control problem governed by a class of boundary value problem with the spectral Dirichlet fractional Laplacian. Some sufficient condition for the existence of optimal processes is stated. The proof of the main result relies on variational structure of the problem. To show that boundary value problem with the Dirichlet fractional Laplacian has a weak solution we employ the renowned Ky Fan Theorem.

研究の動機と目的

• スペクトルディリクレート分数階ラプラシアンに従う系における最適制御プロセスの存在を確立すること。
• 制御パラメータにおける弱解の連続的依存性を $L^p$ および $H_0^{\frac{\beta}{2}}$ 位相で分析すること。
• ミニマックス枠組みにおいてKy Fan定理を用いて鞍点解の存在を証明すること。
• スペクトル分数階ラプラシアン下での境界値問題の適切性（well-posedness）を示すこと。
• 安定性および下半連続性の議論を通じて、コスト汎関数を最小化する最適制御の存在を検証すること。

提案手法

• 有界リプシッツ領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $n \geq 3$ 上における固有関数展開を用いた分数階ラプラシアン $(-Δ)^{\alpha/2}$ のスペクトル的定義を利用する。
• 弱解を空間 $H_0^{\alpha/2}(\Omega) \times H_0^{\alpha/2}(\Omega)$ 上の汎関数 $F_w(u,v)$ の臨界点として定式化することにより、問題の変分的構造を活用する。
• 作用汎関数の鞍点の存在を保証するため、適切な凸-凹構造のもとでKy Fan定理を適用し、弱解の存在を確立する。
• 制御 $w_k \to w_0$ のとき $\{(u_k, v_k)\}$ が $H_0^{\alpha/2} \times H_0^{\alpha/2}$ で強い収束を示すことで、解の制御パラメータへの連続的依存性を確立する。
• $L^p$ における制御の弱*収束または弱収束と、コスト汎関数 $J$ の下半連続性を用いて、最適制御の存在を証明する。
• 線形および非線形結合項を含む2つの明示的例を通じてフレームワークを検証し、$p \in (3/\alpha, \infty)$ および $s \in (1, 6/(3-\alpha))$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形結合項および制御依存項を有するスペクトルディリクレート分数階ラプラシアンに従う系に対して、最適制御が存在するか？
• RQ2 制御入力の $L^p$ 位相における分数階偏微分方程式の弱解はどのように連続的に依存するか？
• RQ3 ミニマックス枠組みとKy Fan定理は、非局所的かつ非線形な偏微分方程式設定において鞍点解の存在を証明するために適用可能か？
• RQ4 コスト汎関数 $J(u,v,w)$ は、制御の弱*収束または弱収束および状態の強い収束に関して下半連続的か？
• RQ5 分数階ソボレフ空間の文脈において、境界値問題の適切性を保証する条件は何か？

主な発見

• 与えられた変分的およびスペクトル的仮定のもとで、任意の制御 $w \in L^p(\Omega, \mathbb{R}^m)$ に対して $p \in (3/\alpha, \infty)$ を満たすとき、境界値問題 (3) は少なくとも1つの弱解を有する。
• 制御 $w_k$ が $L^p$ で $w_0$ に収束するとき、弱解 $(u_k, v_k)$ は $H_0^{\alpha/2} \times H_0^{\alpha/2}$ で強い収束を示し、適切性（well-posedness）が確立される。
• コスト汎関数 $J(u,v,w)$ は、$w_k$ の $L^\infty$ における弱*収束および $(u_k, v_k)$ の強い収束に関して下半連続的であり、下界の達成が保証される。
• 最適制御 $w^*$ が存在し、$J(u_0, v_0, w_0) = \inf_{(u,v,w) \in \mathcal{D}} J(u,v,w)$ を満たす。ここで $(u_0, v_0)$ は $w^*$ に対応する解である。これは主な存在結果を証明する。
• 汎関数 $F_w(u,v)$ は鞍点型であり、Ky Fan定理が適用可能となる条件を満たしており、臨界点の存在が保証される。
• 2つの明示的例が構成された：1つは $s \in (1, 6/(3-\alpha))$ を満たす線形例、もう1つは $s \in (1+1/(p-1), 6/(3-\alpha))$ を満たす非線形例であり、両方とも主定理の仮定を満たす。