[論文レビュー] Optimal control of steady second grade fluids with a Navier-slip boundary condition

Nadir Arada, Fernanda Cipriano|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ナヴィエ＝スリップ境界条件を満たす定常2階流体方程式に従う最適制御問題について、必要な最適性条件を確立する。また、粘弾性パラメータ α → 0 のとき、最適解がナヴィエ＝ストークス最適制御問題の解に収束することを証明し、極限においてその最適性条件が回復されることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we first investigate necessary optimality conditions for problems governed by systems describing the flow of an incompressible second grade fluid. Next, we study the asymptotic behavior of the optimal solution when the viscoelastic parameter tends to zero, and prove that the corresponding sequence converges to a solution of an optimal control problem governed by the Navier-Stokes equations whose optimality conditions are recovered by passage to the limit.

研究の動機と目的

• 定常非圧縮性2階流体方程式に従う最適制御問題について、ナヴィエ＝スリップ境界条件を満たす場合の必要最適性条件を導出すること。
• 粘弾性パラメータ α が0に近づく際の最適解の漸近的挙動を分析すること。
• 2階流体の最適解の極限が、ナヴィエ＝ストークス方程式に従う最適制御問題の解に対応することを厳密に示すこと。
• 2階流体系における極限操作によって、ナヴィエ＝ストークス制御問題の最適性条件を回復すること。

提案手法

• 速度場、粘性係数 ν、および粘弾性パラメータ α₁, α₂ を含む構成方程式を用いて2階流体モデルを定式化し、制約条件 α₁ + α₂ = 0 を課す。
• 支配方程式の強い形を導出：物質微分、粘性項および非線形対流項、圧力項を含む非線形偏微分方程式系に、正則化項 −αΔy を含む。
• ナヴィエ＝スリップ境界条件を適用：境界面上での法線方向速度が0で、接線方向応力が消えるもので、境界上の法線ベクトルおよび接線ベクトルを用いて表現される。
• 変分法および弱形式を用いて、制御問題の一次最適性条件を導出する。
• コンパクト性の議論およびソボレフ埋め込みを用いて、状態方程式および随伴方程式において α → 0 の極限に移行する。
• コーナーの不等式およびトレース推定を用いて、ナヴィエ＝スリップ境界条件に起因する境界項を解析的に制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナヴィエ＝スリップ境界条件を満たす定常2階流体の最適制御について、必要な最適性条件は何か？
• RQ2 粘弾性パラメータ α が0に近づく際、2階流体制御問題の最適解はどのように振る舞うか？
• RQ3 2階流体の最適解の極限は、ナヴィエ＝ストークス方程式に従う最適制御問題の解に対応するか？
• RQ4 2階流体最適性系の消滅極限として、ナヴィエ＝ストークス制御問題の最適性条件を回復できるか？
• RQ5 ナヴィエ＝スリップ境界条件は、収束解析および解の正則性にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、ナヴィエ＝スリップ境界条件を満たす定常2階流体の最適制御について、必要な最適性条件を確立する。
• 粘弾性パラメータ α → 0 のとき、2階流体問題の最適解の列は、ナヴィエ＝ストークス方程式に従う最適制御問題の解に収束する。
• 極限過程では最適性系の構造が保存され、ナヴィエ＝ストークス問題の必要最適性条件が極限において回復される。
• 収束は適切なソボレフ空間において確立され、状態変数および随伴変数はそれぞれ H¹ および L² のノルムで収束する。
• 境界上の法線および接線射影を用いた精密な推定により、ナヴィエ＝スリップ境界条件がもたらす幾何的複雑性を解析に組み込む。
• 物理的整合性を保証するため、熱力学的に整合する制約条件 ν > 0、α ≥ 0、および α₁ + α₂ = 0 を満たす限り、結果は有効である。