[論文レビュー] Optimal control of the coefficient for fractional and regional fractional {$p$}-{L}aplace equations: Approximation and convergence

Harbir Antil, Mahamadi Warma|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、係数制御を伴う分数階および局所的分数階 $p$-ラプラシアン方程式に従う最適制御問題の解の存在および収束を、退化を克服するための正則化技術を用いて確立する。主な貢献は、正則化された最適制御が元の問題の解に収束することの証明であり、これにより今後の研究で一次最適性系の導出が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study optimal control problems with either fractional or regional fractional $p$-Laplace equation, of order $s$ and $p\in [2,\infty)$, as constraints over a bounded open set with Lipschitz continuous boundary. The control, which fulfills the pointwise box constraints, is given by the coefficient of the involved operator. To overcome the degeneracy of both fractional $p$-Laplacians, we introduce a regularization for both operators. We show existence and uniqueness of solution to the regularized state equations and existence of solution to the regularized optimal control problems. We also prove several auxiliary results for the regularized problems which are of independent interest. We conclude with the convergence of the regularized solutions.

研究の動機と目的

• 非線形的で、可能性として退化する非局所的分数階 $p$-ラプラシアン方程式に係数制御を伴う最適制御の課題に対処すること。
• 新規の正則化アプローチを用いて、局所的および分数階 $p$-ラプラシアン作用素の退化を克服すること。
• 正則化された最適制御問題の解の存在および収束を確立すること。
• 今後の研究において一次最適性条件を導出する基盤を提供すること。

提案手法

• 小さなパラメータ $\varepsilon$ を導入し、勾配項を $\mathcal{G}_n(u,s)$ を用いて切り詰める方法により、分数階および局所的 $p$-ラプラシアン作用素の正則化を導入する。
• ヒルベルト空間に基づく $L^2$-型の目的関数と係数 $\kappa$ に対するボックス制約を備えた正則化最適制御問題（ROCP）を定義する。
• 弱*収束（$BV(\Omega)$ において）および $L^2(\Omega)$ における強収束を用いて、正則化系において極限に移行する。
• コンパクトネスおよび下方連続性の議論を用いて、正則化済みおよび元の問題の解の存在を証明する。
• 非局所的ケースにおいて、分数階ソボレフ空間における密度結果および $W_0^{s,p}(\overline{\Omega})$ における同値ノルムを活用する。
• 正則化された最適制御 $\kappa_{\varepsilon,n}^\star$ が $\varepsilon \to 0$ および $n \to \infty$ の際に、元の最適制御問題の解 $\kappa_\star$ に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化する分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対して、係数制御を伴う最適制御問題は適切に定式化可能か？
• RQ2 正則化はどのように局所的および分数階 $p$-ラプラシアン作用素の退化を克服できるか？
• RQ3 正則化された最適制御問題の解は、元の問題の解に収束するか？
• RQ4 $L^2$-型目的関数は、非局所的非線形問題における収束解析を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 この収束フレームワークは、$0 < s < 1$ の非局所的分数階 $p$-ラプラシアンに拡張可能か？

主な発見

• 弱*コンパクトネス（$BV(\Omega)$ において）および $L^2(\Omega)$ における強収束を用いて、正則化された最適制御問題の解の存在が確立される。
• 正則化によって導入された非退化性のおかげで、正則化された状態方程式は一意解をもつ。
• 正則化された最適制御 $\kappa_{\varepsilon,n}^\star$ は、$\varepsilon \to 0$ および $n \to \infty$ の際に、元の最適制御問題の解 $\kappa_\star$ に収束する。
• liminfおよびlimsup推定を用いて目的関数の収束が確認され、$\mathbb{I}(\kappa_\star, u_\star) = \lim \mathbb{I}(\kappa_{\varepsilon,n}^\star, u_{\varepsilon,n}^\star)$ が成り立つことが示される。
• 結果は、$0 < s < 1$ の非局所的分数階 $p$-ラプラシアン $(-\Delta)_p^s$ に対しても、フレームワークの最小限の修正で拡張可能である。
• 収束フレームワークにより、今後の研究で元の問題に対する一次最適性系の導出が可能になる。