[論文レビュー] Optimal control problem of fully coupled forward-backward stochastic systems with Poisson jumps under partial information

Qingxin Meng|ArXiv.org|Nov 17, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、部分情報下での完全結合型前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）にポアソンジャンプを含む確率的最適制御問題に対して、必要かつ十分な最大原理を確立する。凸解析と双対性理論を用いて、拡散、ジャンプ、制御成分の共役過程を含む最適性条件を導出し、不連続で結合的かつ部分観測の設定に一般化した。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of stochastic optimal control problem with jumps under partial information. More precisely, the controlled systems are described by a fully coupled nonlinear multi- dimensional forward-backward stochastic differential equation driven by a Poisson random measure and an independent multi-dimensional Brownian motion, and all admissible control processes are required to be adapted to a given subfiltration of the filtration generated by the underlying Poisson random measure and Brownian motion. For this type of partial information stochastic optimal control problem, we give a necessary and sufficient maximum principle. All the coefficients appearing in the systems are allowed to depend on the control variables and the control domain is convex.

研究の動機と目的

• 基礎的なブラウン運動およびポアソン確率測度に関する情報が制御者に不完全であるような確率的最適制御問題に対処すること。
• ブラウン運動およびポアソンジャンプの両方によって駆動される完全結合型前向き後向き確率系に、確率的最大原理を拡張すること。
• 制御過程が部分フィルトレーションに適応するという、部分的情報フィルトレーションを組み込むこと。これは現実の情報制約を反映している。
• ジャンプ付きの前向きSDEの最大原理およびジャンプなしの完全結合型FBSDEの既存結果を一般化すること。
• 非線形的で多次元的かつ不連続な確率的制御系において、部分観測下での最適性条件を統合的に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• d次元のブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される完全結合型前向き後向き確率微分方程式（FBSDE）を用いて最適制御問題を定式化する。
• コストレート変数を表す双対過程 $\hat{p}_t$, $\hat{q}_t$, $\hat{k}_t$, $\hat{\beta}_t(e)$, $\hat{r}_t(\cdot)$ を含む、前向き後向き系の共役系を導入する。
• 凸解析と双対性理論を適用し、前向きおよび後向き方程式の係数と共役過程を組み合わせたハミルトニアン $H(t, \cdot)$ を導出する。
• 変分不等式を用いて必要条件を導出し、制御 $v$ に関するハミルトニアンの微分の期待値が消えること、すなわちゼロであることを示す。
• 十分条件を確立するため、ハミルトニアンが制御に関して凸であり、共役過程が共役方程式を満たすならば、候補となる制御は最適であることを証明する。
• 伊藤の公式およびイト＝マイヤーの公式を用いてジャンプおよび拡散成分を処理し、$L^2$ 積分可能性条件下で確率積分の期待値がゼロになるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分情報下での完全結合型前向き後向きSDEにジャンプを含む場合に、確率的最大原理をどのように拡張できるか。
• RQ2 ブラウン運動およびポアソンジャンプが生成するフィルトレーションへのアクセスが不完全な制御者において、最適性の必要かつ十分な条件は何か。
• RQ3 拡散、ジャンプ、制御成分の共役過程が、このような系の最適性条件においてどのように相互作用するか。
• RQ4 ポアソンジャンプの導入および前向きと後向き成分の完全結合性が、連続的または非結合的場合と比較して最適性条件の構造にどのように影響を与えるか。
• RQ5 フィルトレーションが右連続または完全でない場合に、動的プログラミング原理に依存せずに最大原理を導出できるか。

主な発見

• 本論文は、部分情報下での完全結合型前向き後向き確率系にポアソンジャンプを含む場合に、必要かつ十分な最大原理を確立した。
• 最適性条件は、ハミルトニアン $H$ に共役過程を含む条件 $\mathbb{E}[\nabla_v H(t, \cdot) | \varepsilon_t] = 0$ によって特徴づけられる。
• 共役過程 $\hat{p}_t$, $\hat{q}_t$, $\hat{k}_t$, $\hat{\beta}_t(e)$, $\hat{r}_t(\cdot)$ は、前向きおよび後向きダイナミクスを結合する後向き確率微分方程式系を満たす。
• 既存の結果を一般化している：ジャンプがない場合、結果は Meng (2009) の場合に還元される。後向き成分がない場合、Baghery と Øksendal (2008) の結果に一致する。
• 非結合的かつ1次元のFBSDEにジャンプを含む場合（Oksendal と Sulem, 2008）も、完全結合型系がその設定を含むため、特殊ケースとしてカバーされる。
• 導出は、確率積分のマルティンゲール性を保証するための $L^2$ 積分可能性条件 (4.3)–(4.10) に依存しており、これは双対性議論にとって不可欠である。