[論文レビュー] Optimal Control Theory on almost-Lie Algebroids

Michał Jóźwikowski|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、リー代数小屋の可積分性条件を緩和する幾何的構造であるアローラ・リー代数小屋上で最適制御理論を展開し、古典的最適制御を一般化する。この枠組みにおいてポントレヤーギン最大原理を定式化することで、アローラ・リー代数小屋上のハミルトニアン形式を用いて最適性の必要条件を導出し、変分法を非可積分な幾何的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We extend the Pontryagin Maximum Principle (PMP) to the geometric setting of almost-Lie (AL) algebroids -- objects which generalize Lie algebroids. The result may be understood as a very general reduction scheme for optimal control problems (OCPs). It covers the standard PMP, as well as gives necessary optimality conditions for symmetric OCPs on Lie groups, principal bundles, and Lie groupoids. We do not assume the symmetry of boundary conditions. The ideas are based on a very general concept of homotopy of admissible paths on AL algebroids. Our framework works for OCPs with fixed-end-points and general boundary conditions.

研究の動機と目的

• リー代数小屋の可積分性を緩和することで一般化されるアローラ・リー代数小屋の幾何的設定に最適制御理論を拡張すること。
• ポントレヤーギン最大原理をアローラ・リー代数小屋の文脈に定式化し、最適性の必要条件を提供すること。
• 力学および制御に現れる非可積分な幾何的構造へ、変分原理およびハミルトニアン力学を一般化すること。
• 標準的なリー代数小屋理論が適用できない特異的または非正則な幾何的構造における最適制御のフレームワークを確立すること。

提案手法

• アローラ・リー代数小屋のアンカー写像および括弧演算を用いて、制御系の運動を形式化すること。
• アローラ・リー代数小屋の双対バンドル上にハミルトニアン関数を定義し、系のエネルギーと時間発展を記述すること。
• ジャコビ恒等式が成立しない場合でも、アローラ・リー代数小屋構造を介してハミルトニアンベクトル場を導出すること。
• この幾何的設定においてポントレヤーギン最大原理を適用し、最適性の必要条件を導出すること。
• 共軛作用と双対ペアリングを用いて、制御変数と代数小屋の運動量空間との関係を記述すること。
• 極値曲線と双対バンドル上でのハミルトニアン系の解との間の対応関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポントレヤーギン最大原理は、アローラ・リー代数小屋上で定義された系にどのように一般化できるか？
• RQ2 非可積分な幾何的構造に従う制御系における最適性の必要条件は何か？
• RQ3 アローラ・リー代数小屋におけるジャコビ恒等式の不成立は、最適制御則の定式化にどのように影響するか？
• RQ4 変分および制御問題に対して、ハミルトニアン形式はアローラ・リー代数小屋へ一貫して拡張可能か？
• RQ5 双対バンドルおよび共軛軌道は、アローラ・リー代数小屋上での最適制御の幾何的構造において果たす役割は何か？

主な発見

• ポントレヤーギン最大原理は、非可積分な幾何的制約を持つ系においても、最適性の必要条件を提供する形で、アローラ・リー代数小屋へ成功裏に拡張された。
• ジャコビ恒等式が成立しない場合でも、アローラ・リー代数小屋の双対バンドル上でのハミルトニアンベクトル場は適切に定義可能であり、ハミルトニアン法の適用が可能である。
• 最適軌道は、代数小屋構造と制御制約から導かれるハミルトニアンベクトル場の積分曲線に対応する。
• 双対バンドル上の共軛作用は、制御系における保存量および対称性を特徴付ける上で中心的な役割を果たす。
• このフレームワークにより、古典的リー代数小屋理論が適用できない特異的または非正則な幾何的構造上での制御系の解析が可能となる。
• 理論は、非可積分な設定において最適制御と変分原理を幾何的に統一する枠組みを提供する。