[論文レビュー] Optimal Controller and Actuator Design for Nonlinear Parabolic Systems

M. Sajjad Edalatzadeh, Kirsten Morris|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 62被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンに基づく必要条件を用いて1次最適性条件を定式化することにより、非線形放物型系（Kuramoto-Sivashinsky方程式および非線形熱方程式を含む）における最適制御とアクチュエータの存在を確立する。主な貢献は、一般の非線形性とシステム安定性の仮定を必要としない、制御とアクチュエータ配置の併用的最適設計の理論的枠組みの構築である。

ABSTRACT

Many physical systems are modeled by nonlinear parabolic differential equations, such as the Kuramoto-Sivashinsky (KS) equation. In this paper, the existence of a concurrent optimal controller and actuator design is established for semilinear parabolic systems. Optimality equations are provided. The results are shown to apply to optimal controller/actuator design for the Kuramoto-Sivashinsky equation and also nonlinear diffusion.

研究の動機と目的

• 一般クラスの非線形分散パラメータ系における最適アクチュエータ設計に関する理論的結果の不足に対処すること。
• 最小限の仮定の下で、半線形放物型系に対して制御とアクチュエータの併用的最適設計の存在を確立すること。
• 制御入力とアクチュエータ位置の共同最適化のための1次必要最適性条件を導出すること。
• システム安定性の仮定を不要とするように、既存の線形PDE制御理論を非線形系に拡張すること。
• Kuramoto-Sivashinsky方程式や非線形熱方程式のような物理的に重要な方程式への適用可能性を示すこと。

提案手法

• 半線形放物型系に、放物型線形部を有する抽象的バナッハ空間設定で制御問題を定式化する。
• ハミルトニアン形式を用いて、ラグランジュ乗数法を適用し、1次最適性条件を導出する。
• 解の有界性を保証するため、リャプノフ関数のアプローチを用い、条件 $\zeta F(\zeta) \leq 0$ の下で入力-状態安定性を証明する。
• コスト関数 $J = \int_0^\tau \|w\|^2_{L^2(\Omega)} dt + \int_0^\tau \|u\|^2 dt$ を支配する双対系を導出する。
• 状態方程式、双対方程式、制御式 $u^o(t) = -\int_\Omega r^o(\xi) f^o(\xi,t) d\xi$、およびアクチュエータ制約 $\int_0^\tau u^o(t) f^o(\xi,t) dt = 0$ を含む最適性系を導出する。
• 単位球制約 $\|w_0\|_{H^1_{\Gamma_0}(\Omega)} = 1$ の下で、ラグランジュ乗数条件 $f^o(\xi,0) + \mu w_0(\xi) = 0$ を用いて最悪の初期条件を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 システム安定性の仮定をせず、一般の非線形放物型系に対して最適制御とアクチュエータ設計が存在するか？
• RQ2 半線形放物型系における制御とアクチュエータの併用的最適設計の1次必要最適性条件は何か？
• RQ3 最適制御性能を考慮する際、状態空間内の単位球内での最悪の初期条件はどのように特定できるか？
• RQ4 理論的枠組みは、Kuramoto-Sivashinsky方程式や非線形熱方程式といった具体的な非線形PDEに適用可能か？
• RQ5 非線形性にどのような構造的条件を課すと、最適制御下での解の有界性と適切な定義が保証されるか？

主な発見

• 入力作用素の弱連続性と線形部の強制性という自然な仮定の下で、半線形放物型系に対して最適制御とアクチュエータ設計の存在が証明された。
• 双対系とハミルトニアン形式を用いて1次最適性条件が導出され、状態方程式と双対方程式の結合系が得られ、明示的な制御およびアクチュエータの公式が得られた。
• 非線形熱方程式に対しては、条件 $\zeta F(\zeta) \leq 0$ が入力-状態安定性を保証し、解ノルムの上限 $\|w(\tau)\|^2 \leq \|w_0\|^2 + \frac{4}{c_\Omega} \|u\|^2_{L^2(0,\tau)} \|r\|^2_{\mathbb{K}}$ を保証する。
• 最適制御は $u^o(t) = -\int_\Omega r^o(\xi) f^o(\xi,t) d\xi$ で与えられ、アクチュエータ位置 $r^o$ はすべての $\xi \in \Omega$ に対して $\int_0^\tau u^o(t) f^o(\xi,t) dt = 0$ を満たす制約を満たす。
• 単位球 $H^1_{\Gamma_0}(\Omega)$ 内の最悪の初期条件は、制約 $\|w_0\|_{H^1_{\Gamma_0}(\Omega)} = 1$ を満たすラグランジュ乗数 $\mu$ を用いて $f^o(\xi,0) + \mu w_0(\xi) = 0$ を満たす。
• 理論的枠組みはKuramoto-Sivashinsky方程式および非線形熱方程式に成功裏に適用され、物理的に重要なPDEへの広範な適用可能性が示された。