[論文レビュー] Optimal design of mixtures of ferromagnetic interactions

Andrea Braides, Leonard Kreutz|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、磁性相互作用の混合を有するネットワークにおける表面エネルギーの最適設計のための厳密な枠組みを確立する。$γ$-収束均質化に対する鋭い上限と下限を導出し、周期的ミクロ幾何構造への還元を可能にする局在化原理を証明するとともに、相互作用強度および体積分率を含む明示的表現で境界づけられる、凸かつ正Homogeneous関数としての、すべての可能な均質化表面張力の範囲を特徴づける。

ABSTRACT

We provide a general framework for the optimal design of surface energies on networks. We prove sharp bounds for the homogenization of discrete systems describing mixtures of ferromagnetic interactions by constructing optimal microgeometries, and we prove a localization principle which allows to reduce to the periodic setting in the general nonperiodic case.

研究の動機と目的

• 磁性相互作用の混合を有するネットワークにおける表面エネルギーの最適設計のための一般枠組みの構築。
• 固定された体積分率制約下での強磁性相互作用を有する離散系の均質化に対する鋭い境界の導出。
• 非周期的系の解析を周期的設定に還元するための局在化原理の確立。
• すべての可能な均質化表面張力の集合を、一次の正Homogeneous関数としての凸関数として特徴づける。
• 二種類の相互作用強度の混合から生じる表面張力のG-閉包問題の完全な記述。

提案手法

• 立方格子上におけるイジング型系をモデル化するため、スケーリングエネルギー $E_\varepsilon(u) = \frac{1}{4}\sum_{\xi\in V}\sum_{i\in\mathbb{Z}^d}\varepsilon^{d-1}c^{\varepsilon}_{i,\xi}(u_i - u_{i+\xi})^2$ を用いた離散的から連続的へのアプローチ。
• $\Gamma$-収束を適用し、表面張力 $\varphi$ を有する異方的表面エネルギー $F(u) = \int_{\partial^*\{u=1\}} \varphi(x,\nu_u)\,d\mathcal{H}^{d-1}$ を表す連続的極限エネルギーを導出。
• 対角論法を用いて一般非周期的系を周期的ミクロ幾何構造に還元することを可能にする局在化原理の導入。
• 収小する立方体 $Q_{2^{-k}(1-\delta)}(x_n)$ と周期的近似を用いた階層的構成による最適ミクロ幾何構造の構築。
• 二段階の近似を採用：まず各立方体内で周期的配置によるエネルギー近似を行い、次に $\varepsilon$ と $N$ における対角列を用いて近似を精緻化。
• $\Gamma$-極限を用いて、所定の体積分率 $\theta_{\xi}$ を有する周期的配置からの表面張力の極限として、均質化表面張力 $\varphi$ を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二種類の異なる結合強度を有する強磁性相互作用の混合から生じる、すべての可能な均質化表面張力の集合は何か？
• RQ2 相互作用係数の体積分率が固定された条件下で、ネットワークミクロ構造の最適設計はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 非周期的系の均質化は、局在化原理を用いて周期的ケースに還元可能か？
• RQ4 相互作用強度 $\alpha_\xi$, $\beta_\xi$ および体積分率 $\theta_\xi$ を用いた表面張力 $\varphi(\nu)$ の鋭い上界および下界は何か？
• RQ5 局所的に変化する係数を有する離散エネルギーの $\Gamma$-極限は、どのように連続的表面エネルギー汎関数に収束するか？

主な発見

• すべての可能な均質化表面張力 $\varphi$ の集合は、対称的かつ凸的で、一次の正Homogeneous関数であり、二重不等式 $\sum_{\xi\in V}\alpha_\xi|\langle\nu,\xi\rangle| \leq \varphi(\nu) \leq \sum_{\xi\in V}(\beta_\xi\theta_\xi + (1-\theta_\xi)\alpha_\xi)|\langle\nu,\xi\rangle|$ を満たす関数として特徴づけられる。
• この集合に属する任意の $\varphi$ に対して、体積分率 $\theta_{\xi}^n \to \theta_\xi$ を満たす周期的ミクロ幾何構造の列が存在し、対応する離散エネルギーの $\Gamma$-極限が $\varphi$ に収束する。
• 局在化原理により、非周期的系の $\Gamma$-極限が周期的系によって近似可能であり、周期的設定への還元が可能であることが保証される。
• 最適ミクロ幾何構造の構築には、立方体 $Q_{2^{-k}(1-\delta)}(x_n)$ と周期的近似 $c^{k,n,N}_{i,\xi}$（周期 $T$）を用いた階層的精緻化が含まれ、体積分率が弱*-収束して目標の $\theta_{\xi}$ に近づく。
• 係数 $c^{k,\delta,\varepsilon}_{i,\xi}$ を有する離散エネルギーの $\Gamma$-極限は、目的のエネルギー $E_k^\delta(u)$ に収束し、表面張力 $\varphi^\delta_k$ は体積部で所望の形を示し、境界付近では $\sum \beta_\xi|\langle\nu,\xi\rangle|$ に切り替わる。
• 全 $\Gamma$-極限は $k$, $N$, および $\delta$ における対角論法により回復され、エネルギーおよび局所的体積分率が所望の極限に収束することが保証される。