[論文レビュー] Optimal Direct Sum and Privacy Trade-off Results for Quantum and Classical Communication Complexity

Rahul Jain, Pranab Kumar Sen+1 more|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、1ウェイのもつれ支援付き量子通信およびパブリックコイン古典的通信複雑性における最適な直接和定理を確立し、関係 $ m $ 個を解くには1個を解く場合の通信量の $ \Omega(m) $ 倍が必要であることを示している。メッセージ圧縮と量子ラウンド除去を用いてプライバシーのトレードオフ結果を証明し、古典的下界を量子設定に拡張する一方で、ニューマンの古典的パブリックコイン還元技法が量子プロトコルに一般化できないことも示している。

ABSTRACT

We show optimal Direct Sum result for the one-way entanglement-assisted quantum communication complexity for any relation f subset of X x Y x Z. We show: Q^{1,pub}(f^m) = Omega(m Q^{1,pub}(f)), where Q^{1,pub}(f), represents the one-way entanglement-assisted quantum communication complexity of f with error at most 1/3 and f^m represents m-copies of f. Similarly for the one-way public-coin classical communication complexity we show: R^{1,pub}(f^m) = Omega(m R^{1,pub}(f)), where R^{1,pub}(f), represents the one-way public-coin classical communication complexity of f with error at most 1/3. We show similar optimal Direct Sum results for the Simultaneous Message Passing quantum and classical models. For two-way protocols we present optimal Privacy Trade-off results leading to a Weak Direct Sum result for such protocols. We show our Direct Sum and Privacy Trade-off results via message compression arguments which also imply a new round elimination lemma in quantum communication. This allows us to extend classical lower bounds on the cell probe complexity of some data structure problems, e.g. Approximate Nearest Neighbor Searching on the Hamming cube {0,1}^n and Predecessor Search to the quantum setting. In a separate result we show that Newman's technique of reducing the number of public-coins in a classical protocol cannot be lifted to the quantum setting. We do this by defining a general notion of black-box reduction of prior entanglement that subsumes Newman's technique. We prove that such a black-box reduction is impossible for quantum protocols. In the final result in the theme of message compression, we provide an upper bound on the problem of Exact Remote State Preparation.

研究の動機と目的

• 1ウェイのもつれ支援付き量子通信およびパブリックコイン古典的通信複雑性における最適な直接和定理を確立すること。
• 2ウェイの量子および古典的プロトコルにおけるプライバシーのトレードオフ結果を証明し、弱い直接和定理に導くこと。
• 量子ラウンド除去を用いて、データ構造問題（例：ANN、プレディセッサー検索）における古典的下界を量子設定に拡張すること。
• ニューマンの古典的パブリックコイン還元技法が量子設定に一般化できないことを示すこと。
• メッセージ圧縮技術を用いてExact Remote State Preparation（ERSP）問題に対する新たな上界を提供すること。

提案手法

• メッセージ圧縮の議論を用いて、量子および古典的通信モデルにおける直接和およびプライバシーのトレードオフ結果を導出する。
• 量子通信における新しいラウンド除去補題を適用し、古典的下界を量子プロトコルに移す。
• 部分状態定理および純化技術を用いて、量子状態準備およびリモート状態準備を分析する。
• ジューズァ・ウルマンの補題を用いて、純化における局所ユニタリ変換を活用し、状態転送のためのプロトコルを構築する。
• 前綴なし符号化を用いたリジェクトサンプリングに類似したプロトコルを導入し、期待通信コストを制限する。
• トレース距離および相対エントロピー $ S(\rho_{x}||\sigma) $ を用いて、状態準備における忠実度および通信のトレードオフを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1ウェイのもつれ支援付き量子通信複雑性における最適な直接和定理を証明できるか？
• RQ2 1ウェイのパブリックコイン古典的通信複雑性に対しても同様の直接和結果を確立できるか？
• RQ3 2ウェイプロトコルにおけるプライバシーのトレードオフ結果は、量子および古典的設定における弱い直接和定理に導けるか？
• RQ4 セルプローブ複雑性における古典的下界（例：ANN、プレディセッサー検索）を量子プロトコルに拡張できるか？
• RQ5 ニューマンの古典的パブリックコイン還元技法は、量子設定に一般化可能か？

主な発見

• 1ウェイのもつれ支援付き量子通信複雑性は $ \mathsf{Q}^{1,\sf{pub}}(f^{\oplus m}) = \Omega(m \cdot \mathsf{Q}^{1,\sf{pub}}(f)) $ を満たし、最適な直接和定理が証明された。
• 1ウェイのパブリックコイン古典的通信複雑性は $ \mathsf{R}^{1,\sf{pub}}(f^{\oplus m}) = \Omega(m \cdot \mathsf{R}^{1,\sf{pub}}(f)) $ を満たし、最適な直接和定理が確立された。
• 同時メッセージ伝達（SMP）モデルにおいても、量子および古典的プロトコルの両方で同様の最適な直接和定理が成立する。
• プライバシーのトレードオフ解析を用いて、2ウェイの量子および古典的プロトコルにおける弱い直接和定理が導出された。
• 本稿では、ニューマンの古典的パブリックコイン還元技法が量子プロトコルに一般化できないことが証明された。これは、事前もつれを定数要因より小さくは減らせないためである。
• 純化および前缀なし符号化に基づくプロトコルを用いて、Exact Remote State Preparation（ERSP）問題に対する上界が確立され、通信量は $ \log(\mathsf{Tr}(\sigma^{-1}\rho_x)) + 2\log\log(\mathsf{Tr}(\sigma^{-1}\rho_x)) $ で抑えられる。