[論文レビュー] Optimal Dividends for a Two-Dimensional Risk Model with Simultaneous Ruin of Both Branches

Philipp Lukas Strietzel|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2022

Probability and Risk Models参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、片方の部門が負の純資産を経験しうる2次元非正則リスクモデルにおける最適配当配分を検討し、健全性をR²\R²<0に拡張する。最適値関数がハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を満たし、指定された成長条件の下で最小の粘性解であることを証明する。最適戦略が1次元のバリア制御に還元される条件を同定し、モンテカルロシミュレーションおよび明示的なバリアレベルを用いた数値例によって検証する。

ABSTRACT

We consider the optimal dividend problem in the so-called degenerate bivariate risk model under the assumption that the surplus of one branch may become negative. More specific, we solve the stochastic control problem of maximizing discounted dividends until simultaneous ruin of both branches of an insurance company by showing that the optimal value function satisfies a certain Hamilton&amp;ndash;Jacobi&amp;ndash;Bellman (HJB) equation. Further, we prove that the optimal value function is the smallest viscosity solution of said HJB equation, satisfying certain growth conditions. Under some additional assumptions, we show that the optimal strategy lies within a certain subclass of all admissible strategies and reduce the two-dimensional control problem to a one-dimensional one. The results are illustrated by a numerical example and Monte Carlo simulated value functions.

研究の動機と目的

• 片方の部門に負の純資産を許容する2次元非正則リスクモデルへの最適配当問題の拡張。
• 最適値関数がハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式の最小の粘性解として特徴付けられることの特定。
• 最適戦略がバッチ（バリア）戦略の部分クラスに属する条件の同定により、2変数問題を1変数問題に還元可能となる条件の特定。
• モンテカルロシミュレーションおよび明示的なバリアレベルを用いた数値例による理論的結果の検証。

提案手法

• 複合ポアソン請求と部門間の割合再保険を伴う非正則2変量リスクモデルの定式化。
• 動的計画法と確率的制御の適用により、最適値関数を支配するHJB方程式を導出。
• 指定された成長条件の下で、最適値関数がHJB方程式の最小の粘性解であることを証明。
• 最適戦略がバッチ（バリア）戦略の部分クラスに属する条件の同定により、次元削減が可能となる条件の特定。
• 指数分布の請求額を仮定したモンテカルロシミュレーションを用いた値関数の数値近似。
• 先行研究からの解析的解を用い、部門間配当レートΛの異なる仮定の下で各部門の最適バリアレベルの計算。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負の純資産が片方の部門に許容される2次元リスクモデルにおける最適配当問題は、どのように定式化できるか？
• RQ2 最適値関数はハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を満たすか？ もしそうならば、どのような性質を有するか？
• RQ3 最適戦略が1次元のバリア戦略に還元される条件は何か？ これにより次元削減が可能となる。
• RQ4 数値例において、各部門の最適バリアレベルは、部門間配当レートΛにどのように依存するか？
• RQ5 モンテカルロシミュレーションは最適値関数を正確に近似でき、理論的発見を検証できるか？

主な発見

• 適切な成長条件の下で、同時破綻を伴う2次元リスクモデルの最適値関数は、関連するHJB方程式の最小の粘性解として特徴付けられる。
• パラメータγ = 0.25、λ = 1、c1 = 2、c2 = 4、b1 = 0.25、b2 = 0.75、q = 0.05の数値例において、部門1の最適バリアはΛの値に応じて[7.00464, 10.7136]の区間に位置する。
• 同じ例において、部門2の最適バリアはΛの値に応じて[10.8148, 23.7285]の区間に位置する。
• モンテカルロシミュレーションの結果、初期資本(25, 25)において、バリアxb1 ≈ 8.0を有する戦略L∗1 = (Lb1, L∗2)が、xb2 ≈ 18.35を有する戦略L∗2 = (L∗1, Lb2)よりも高い期待割引配当を達成することが示された。
• 最適戦略はすべての初期資本状態で常に優位ではない。例えば、例20では、L∗1はD1ではL∗2を上回るが、D2ではL∗2が優勢である可能性がある。
• b1 = b2およびc1 = c2である対称的ケースでは、x1 = x2の対角線上で値関数V∗1とV∗2が一致し、最適パフォーマンスの対称性が確認された。