[論文レビュー] Optimal dividends problem with a terminal value for spectrally positive Levy processes

Chuancun Yin, Yuzhen Wen|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2013

Probability and Risk Models参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、破産時の終局的報酬を伴うスペクトル的に正のLévy過程における最適配当問題を研究し、Lévy測度の形にかかわらずバリア戦略が最適であることを示している。スケール関数とフラクタル理論を用いて、価値関数の明示的表現を導出し、最適バリアレベルがスケール関数と終局的価値Sを含む非線形方程式の解として定まることが証明されている。

ABSTRACT

In this paper we consider a modified version of the classical optimal dividends problem of de Finetti in which the dividend payments subject to a penalty at ruin. We assume that the risk process is modeled by a general spectrally positive Levy process before dividends are deducted. Using the fluctuation theory of spectrally positive Levy processes we give an explicit expression of the value function of a barrier strategy. Subsequently we show that a barrier strategy is the optimal strategy among all admissible ones. Our work is motivated by the recent work of Bayraktar, Kyprianou and Yamazaki (2013).

研究の動機と目的

• 破産時の終局的報酬を伴う最適配当問題を、スペクトル的に正のLévy過程に拡張すること。
• 一部の先行モデルとは異なり、最適性が成立しなくなる場合があるが、終局的報酬Sを導入した場合にもバリア戦略が最適のままであるかを同定すること。
• スケール関数を用いて、バリア戦略における割引期待配当支払いの明示的表現を導出すること。
• 最適バリアレベルb*を、スケール関数と終局的価値Sを含む方程式の解として明確に特徴づけること。
• Lévy測度に関する一般条件の下で、一般のスペクトル的に正のLévy過程に対してバリア戦略の最適性を確立すること。

提案手法

• スペクトル的に正のLévy過程のフラクタル理論を用いて、最初の通過時刻および抜出自律分布を分析する。
• q-スケール関数W^{(q)}とZ^{(q)}を用いて、割引期待配当支払いおよび破産関連期待値を表現する。
• 強マルコフ性と全確率分解を適用し、スケール関数を用いて価値関数V(b,x)を導出する。
• バリアレベルbにおけるバリア戦略の価値関数V_b(x)を、x ≤ bとx > bのケースに分けて導出する。
• 最適バリアレベルb*を決定するために、境界条件V’_b(b) = 1を課し、Z^{(q)}、Ψ’(0+)、およびSを含む方程式を導出する。
• Bayraktar, Kyprianou, and Yamazaki (2013)の一般Lévy測度下でのバリア戦略の最適性に関する結果を応用し、本拡張設定においても最適性が成立することを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のLévy測度に対しても、破産時の終局的報酬Sを導入した場合に、スペクトル的に正のLévy過程におけるバリア戦略が最適のままであるか？
• RQ2 終局的価値Sを伴うバリア戦略下で、割引期待配当支払いの明示的表現を導出できるか？
• RQ3 最適バリアレベルb*は、スケール関数と終局的価値Sを用いてどのように正確に特徴づけられるか？
• RQ4 終局的報酬Sの導入により、S=0の古典的ケースと比較して、価値関数の構造にどのような影響が生じるか？
• RQ5 価値関数がバリア戦略のものと全体の最適価値関数V(x)と等しくなる条件は何か？

主な発見

• バリアレベルbにおけるバリア戦略下の価値関数は、0 ≤ x ≤ bに対してV_b(x) = Λ(b)Z^{(q)}(b−x) − Z̅^{(q)}(b−x) − Ψ’(0+)/q で与えられ、x > bに対してはx − b + Λ(b) − Ψ’(0+)/q である。
• 最適バリアレベルb*は、方程式ψ(b) = −Ψ’(0+)/q − Sの解として定義され、ここでψ(b) = Z̅^{(q)}(b) + Ψ’(0+)/q である。
• −Ψ’(0+)/q − S > 0 であれば、b* = (Z̅^{(q)})^{-1}(−Ψ’(0+)/q − S) である。そうでなければb* = 0である。
• −Ψ’(0+)/q − S > 0 の場合、最適価値関数はx ≤ b*に対してV(x) = −Z̅^{(q)}(b*−x) − Ψ’(0+)/q であり、x > b*に対してはV(x) = x + S である。
• −Ψ’(0+)/q − S ≤ 0 の場合、最適戦略は全余剰を直ちに支払うものであり、V(x) = x + S となる。
• バリアレベルb*におけるバリア戦略が、確率的制御問題において最適であることが証明され、すべてのx ≥ 0に対してV(x) = V_{b*}(x) が成り立つ。