[論文レビュー] Optimal dividends with partial information and stopping of a degenerate reflecting diffusion

Tiziano De Angelis|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Probability and Risk Models参考文献 55被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、企業の収益性について部分的な情報を持つ場合の最適配当配分を研究し、経営陣がドリフトについて持つ信念を確率的信念状態としてモデル化する。退化する反射型拡散および独創的な確率的アプローチを用いて、価値関数が自由境界問題の滑らかな解であることを証明し、学習に基づいて動的に調整される最適配当戦略を構築する。最適境界は、資産と信念状態の両方に依存する。

ABSTRACT

We study the optimal dividend problem for a firm's manager who has partial information on the profitability of the firm. The problem is formulated as one of singular stochastic control with partial information on the drift of the underlying process and with absorption. In the Markovian formulation, we have a 2-dimensional degenerate diffusion, whose first component is singularly controlled and it is absorbed as it hits zero. The free boundary problem (FBP) associated to the value function of the control problem is challenging from the analytical point of view due to the interplay of degeneracy and absorption. We find a probabilistic way to show that the value function of the dividend problem is a smooth solution of the FBP and to construct an optimal dividend strategy. Our approach establishes a new link between multidimensional singular stochastic control problems with absorption and problems of optimal stopping with `creation'. One key feature of the stopping problem is that creation occurs at a state-dependent rate of the `local-time' of an auxiliary 2-dimensional reflecting diffusion.

研究の動機と目的

• 企業経営陣が収益性について不完全な情報を有する状況における最適配当配分をモデル化すること。
• 1次元ブラウン運動のドリフトに関する部分情報と0での吸収を伴う特異確率的制御問題を分析すること。
• 退化性と吸収を含む、困難な自由境界問題に対する価値関数の存在および滑らかさを確立すること。
• 経営陣の収益性に関する信念の進化に基づいて動的に調整される最適配当戦略を構築すること。
• 特異制御と、2次元反射型拡散の局所時間に比例する「生成」を伴う状態依存の最適停止問題との関連を確立すること。

提案手法

• 特異制御が最初の成分に作用し、0で吸収される2次元退化拡散として問題を定式化する。
• 経営陣のドリフトμに関する部分的情報は、π ∈ (0,1) の信念過程で表現され、ベイズの法則に従って時間発展する。
• 確率的検証法を用いて、古典的PDE正則性に依存せずに価値関数が自由境界問題（FBP）を満たすことを示す。
• 特異制御に吸収を組み合わせた問題と、2次元反射型拡散の局所時間に比例する「生成」を伴う最適停止問題との間の新規な関連を導入する。
• 滑らか化および弱収束技術を用いて価値関数を近似し、粘性解の意味でHJB方程式を検証する。
• ジャンプ成分と連続成分を含む伊藤の補題を用いて動的プログラミング不等式を導出し、戦略の最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 企業の収益性に関する部分的情報が、最適配当政策にどのように影響を与えるか？
• RQ2 経営陣のドリフトに関する信念が確率的かつ時間的に変化する場合、最適配当境界の構造はいかなるものか？
• RQ3 吸収と部分情報を伴う特異制御問題の価値関数は、古典的PDE正則性仮定なしに滑らかであると示せるか？
• RQ4 最適制御は、状態に依存する「生成」を伴う補助的最適停止問題とどのように関連しているか？
• RQ5 経営陣の信念が確実性に収束する（π → 0 または π → 1）際の最適戦略の長期的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 退化性と吸収が存在するにもかかわらず、価値関数が自由境界問題の滑らかな解であることは、新たな解析的結果である。
• 最適配当戦略は「バリア型」であり、資産が現在の信念πに依存する閾値を超えると配当が支払われる。
• πが増加するにつれて、臨界的配当境界も上昇し、収益性に対する信頼度の向上が配当支払いの閾値を引き上げることを反映している。
• π → 1 のとき、最適戦略は完全情報解に収束し、π → 0 のときには即時清算に収束する。これは既知の結果と整合的である。
• 最適制御は、継続領域と配当領域を分ける自由境界によって特徴づけられ、境界はπに関して滑らかに依存する。
• 本稿は、特異制御に吸収を組み合わせた問題と、2次元反射型拡散の局所時間による「生成」を伴う最適停止問題との間で、新たな確率的関連を確立した。