[論文レビュー] Optimal Enumeration of Eulerian Trails in Directed Graphs

Ben Bals, Solon P. Pissis+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2026

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ひとこと要約

この論文は、 directed graphs におけるすべての Eulerian トレイルを直接列挙する、単純で時間最適なアルゴリズムを O(m + z_T) 時間で提示し、BEST に基づくカウントや以前の O(m·z_T) アプローチを改善している。

ABSTRACT

The BEST theorem, due to de Bruijn, van Aardenne-Ehrenfest, Smith, and Tutte, is a classical tool from graph theory that links the Eulerian trails in a directed graph $G=(V,E)$ with the arborescences in $G$. In particular, one can use the BEST theorem to count the Eulerian trails in $G$ in polynomial time. For enumerating the Eulerian trails in $G$, one could naturally resort to first enumerating the arborescences in $G$ and then exploiting the insight of the BEST theorem to enumerate the Eulerian trails in $G$: every arborescence in $G$ corresponds to at least one Eulerian trail in $G$. Instead, we take a simple and direct approach. Our central contribution is a remarkably simple algorithm to directly enumerate the $z_T$ Eulerian trails in $G$ in the \emph{optimal} $O(m + z_T)$ time. As a consequence, our result improves on an implementation of the BEST theorem for counting Eulerian trails in $G$ when $z_T=o(n^2)$, and, in addition, it unconditionally improves the combinatorial $O(m\cdot z_T)$-time algorithm of Conte et al. [FCT 2021] for the same task. Moreover, we show that, with some care, our algorithm can be extended to enumerate Eulerian trails in directed multigraphs in optimal time, enabling applications in bioinformatics and data privacy.

研究の動機と目的

• directed graphs における Eulerian トレイルの効率的な列挙が BEST 定理によるカウントを超えて必要であるという動機付け。
• 最適な O(m + z_T) 時間計算量を持つ直接列挙アルゴリズムの設計。
• 完全性と正確性を維持しつつ、出力表現をコンパクトな状態木に圧縮する。
• 生物情報学とデータプライバシーの応用のため、 directed multigraph への拡張。

提案手法

• 主要データ構造として状態木（Eulerian トレイルの圧縮前置木）を導入。
• 圧縮状態木のサイズを O(m + z_T) に抑える二つの圧縮規則（出次数1の圧縮と SCC ベースの規則）を開発。
• 圧縮前後のトレイルの全射で正当性を証明。
• 圧縮残余グラフを定数時間で更新しつつ、全 Hierholzer 派生の完成形へ Prefix を拡張する DFS 的探索を用いる。
• 圧縮状態木が O(m + z_T) 状態のみを持つことを示し、z_trails を O(m + z) で列挙可能にする。
• 圧縮と交差の取り扱いに配慮して directed multigraph へのアルゴリズムの拡張。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 directed graphs における Eulerian トレイルを arborescences を列挙せず直接最適時間で列挙できるか？
• RQ2 すべてのトレイルを表す圧縮表現を O(m + z_T) サイズにする圧縮戦略は何か？
• RQ3 列挙中に残余グラフを効率的に維持して線形時間 DFS をサポートできるか？
• RQ4 最適時間計算量を維持しつつ directed multigraph へアプローチを拡張できるか？

主な発見

• directed graphs におけるすべての Eulerian トレイルを列挙する O(m + z_T) 時間アルゴリズムを達成（または z_T トレイルまで列挙）
• 圧縮状態木はサイズ O(m + z_T) で、すべてのトレイルを表すのに十分であり、各葉は Eulerian トレイルに対応。
• 二つの圧縮規則により非分岐領域を正しく崩さず縮約でき、状態遷移ごとに定数時間の更新を可能にする。
• このアプローチは、組合せ的な O(m · z_T) アルゴリズムや z_T が n^2 に対して小さい場合の BEST ベースのカウントより改善をもたらす。
• 本手法は directed multigraph への一般化が可能で、生物情報学とデータプライバシーへの適用範囲を広げる。