[論文レビュー] Optimal error estimates of a second-order projection finite element method for magnetohydrodynamic equations

Cheng Wang, Jilu Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性磁気流体力学（MHD）方程式に対して、非線形項を半陽的処理した修正クランク＝ニコルソンスキームを用いた、2次精度の完全離散有限要素法を提案する。この手法は、分離型ヴァン・カン型投影ストークスソルバーを採用しており、無条件エネルギー安定性を保証するとともに、速度および磁場に対して、離散 $L^\infty(0,T;L^2)$ 範囲における最適 $\/mathcal{O}(\tau^2 + h^{r+1})$ の誤差推定を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze a temporally second-order accurate, fully discrete finite element method for the magnetohydrodynamic (MHD) equations. A modified Crank--Nicolson method is used to discretize the model and appropriate semi-implicit treatments are applied to the fluid convection term and two coupling terms. These semi-implicit approximations result in a linear system with variable coefficients for which the unique solvability can be proved theoretically. In addition, we use a decoupling projection method of the Van Kan type \cite{vankan1986} in the Stokes solver, which computes the intermediate velocity field based on the gradient of the pressure from the previous time level, and enforces the incompressibility constraint via the Helmholtz decomposition of the intermediate velocity field. The energy stability of the scheme is theoretically proved, in which the decoupled Stokes solver needs to be analyzed in details. Optimal-order convergence of $\mathcal{O} (τ^2+h^{r+1})$ in the discrete $L^\infty(0,T;L^2)$ norm is proved for the proposed decoupled projection finite element scheme, where $τ$ and $h$ are the time stepsize and spatial mesh size, respectively, and $r$ is the degree of the finite elements. Existing error estimates of second-order projection methods of the Van Kan type \cite{vankan1986} were only established in the discrete $L^2(0,T;L^2)$ norm for the Navier--Stokes equations. Numerical examples are provided to illustrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 非圧縮性MHD方程式に対して、計算効率を向上させた時間的に2次精度の完全離散有限要素法の開発。
• 連立非線形MHD系を効率的に解く挑戦に応えるために、計算コストを低減する分離型投影法の導入。
• 現実的な正則性仮定の下で、提案スキームの厳密な理論的収束性およびエネルギー安定性の確立。
• 従来、$L^2(0,T;L^2)$ 範囲に限定されていた誤差推定を、より強い $L^\infty(0,T;L^2)$ 範囲に拡張。
• 数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証し、最適収束率およびエネルギー散逸の確認。

提案手法

• 時間離散化に修正クランク＝ニコルソンスキームを適用し、時間方向に2次精度を達成する。
• 流体の対流項および結合項に対して半陽的近似を用い、系を線形化しつつ安定性を維持する。
• ストークスソルバーにヴァン・カン型の分離型投影法を採用し、前時刻の圧力勾配を用いて中間速度場を計算する。
• 非圧縮性制約は、中間速度のヘルムホルツ分解を用いて強制し、速度場と圧力場を別々に効率的に解くことを可能にする。
• 変数係数を有する線形系が、対応する同次問題の解析を通じて一意解を有することを証明する。
• 速度および磁場に対して $r$ 次の有限要素空間、圧力に対して $r-1$ 次の有限要素空間を用いて空間離散化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性MHD方程式に対して、安定性および最適収束性を保証する時間的に2次精度の完全離散有限要素法を構築可能か？
• RQ2 MHD系の非線形的かつ連立的な性質を効率的に扱いながら、時間方向2次精度を維持できるか？
• RQ3 ストークスソルバーが無条件エネルギー安定かつ計算的に効率的であるような分離型投影スキームを設計可能か？
• RQ4 このような分離型スキームに対して、弱い $L^2(0,T;L^2)$ 範囲ではなく、より強い $L^\infty(0,T;L^2)$ 範囲で最適誤差推定を導出可能か？
• RQ5 時間および空間方向の収束率は何か？理論的予測と一致するか？

主な発見

• 提案スキームは、速度および磁場近似に関して、離散 $L^\infty(0,T;L^2)$ 範囲で最適収束次数 $\mathcal{O}(\tau^2 + h^{r+1})$ を達成する。
• 数値実験により、$\tau = 1/10, 1/20, 1/40, 1/80$ の場合に時間方向に2次収束が確認され、収束次数は約2.01、2.06、2.03を示す。
• 二次有限要素（$r=2$）では空間収束率が約3.0に達し、予測された $h^{r+1}$ の率と一致する。
• 系のエネルギーは時間経過とともに単調に減少することが観察され、定理2.6で証明された無条件エネルギー安定性を裏付ける。
• 分離型ストークスソルバーにより、各時刻で非対称線形系を解く必要がなくなり、効率的な計算が可能になる。
• 理論的解析により、変数係数を有する線形系の一意解が保証され、同次系が自明解のみを有することに依拠する。