[論文レビュー] Optimal error estimation for H(curl)-conforming p-interpolation in two dimensions

Alex Bespalov, Norbert Heuer|ArXiv.org|Mar 25, 2009

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、三角形および正方形の参考要素上で射影に基づく補間作用素を用いて、2次元におけるH(curl)-適合p補間の最適な誤差推定を確立する。主な貢献は、任意のr > 0に対してH^r(curl, K)に属するベクトル場に対する最適なp近似誤差バウンドを証明することであり、正則化されたPoincaré型分解と、最適なH^1-適合推定を基盤として用いることで達成される。

ABSTRACT

In this paper we prove an optimal error estimate for the H(curl)-conforming projection based p-interpolation operator introduced in [L. Demkowicz and I. Babuska, p interpolation error estimates for edge finite elements of variable order in two dimensions, SIAM J. Numer. Anal., 41 (2003), pp. 1195-1208]. This result is proved on the reference element (either triangle or square) K for regular vector fields in H^r(curl,K) with arbitrary r>0. The formulation of the result in the H(div)-conforming setting, which is relevant for the analysis of high-order boundary element approximations for Maxwell's equations, is provided as well.

研究の動機と目的

• H(curl)-適合p補間の既存の誤差推定に存在するギャップを埋めること。これは、従来、最適でないか、低正則性場（r ∈ (0,1)）に限定されていた。
• DemkowiczとBabuškaが導入した射影に基づくH(curl)-適合補間作用素が、三角形および四角形の両方の参考要素で最適なp収束率を達成することを確立すること。
• 補間作用素の適用範囲を、低正則性および高正則性の両方のベクトル場を含む任意の正則性r > 0に拡張すること。
• Maxwell方程式の高次有限要素法および境界要素法におけるH(curl)-適合空間での最適収束を保証する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ベクトル場u ∈ H^r(curl, K)を、回転がゼロの成分と正則性が向上した成分に分解するため、正則化されたPoincaré型積分作用素を用いる。
• H^1-適合射影に基づくp補間作用素に対する最適な誤差推定を、H^1-半ノルムにおいて最初に導出する。これは重要な中間的結果である。
• H(curl)-適合補間作用素は、de Rham図式の可換性を用いて解析され、回転および発散作用素と整合性を持つことを保証する。
• スケーリングの議論と参考要素（三角形または正方形）の形状正則性仮定を用い、結果はBramble-Hilbert補題とスケーリングを介して一般の準均一メッシュに拡張される。
• 2次元におけるcurlとdiv作用素の同型性を活用し、回転対称性を介してH(div)-適合設定が導かれる。
• 解析は参考三角形および正方形の両方で実施され、両幾何に同一の技術が適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H(curl)-適合p補間が三角形および四角形要素の両方で最適なp収束率を達成できるか？
• RQ2 従来のr ∈ (0,1)の範囲を超えて、任意の正則性r > 0への誤差推定を拡張可能か？
• RQ3 射影に基づく補間作用素は、最適収束を達成しつつde Rham図式の性質をどのように保っているか？
• RQ4 高次有限要素法の文脈において、H^1-適合とH(curl)-適合補間誤差推定の関係は何か？
• RQ5 境界要素法への応用を想定して、結果をH(div)-適合補間へ拡張可能か？

主な発見

• H^1-適合p補間に対する最適な誤差推定が、H^1-半ノルムにおいて証明され、u ∈ H^r(K)（r > 0）に対して収束率O(p^{-r})を達成する。
• H(curl)-適合p補間作用素は、任意のr > 0に対して最適な収束率‖u − Π_p^{curl}u‖_{H(curl)} ≤ C p^{-r} ‖u‖_{H^r(curl)}を達成する。
• 結果は参考三角形および正方形の両方で一様に成り立ち、同一の構造とスケーリングゆえに同一の誤差バウンドを持つ。
• 証明は、正則化されたPoincaré型作用素を用いた、u ∈ H^r(curl, K)の回転がゼロの成分と正則性が向上した成分への新規な分解に依拠する。
• H(div)-適合p補間作用素は回転を介して導出され、r > 0に対して最適な誤差推定‖u − Π_p^{div}u‖_{H(div)} ≤ C p^{-r} ‖u‖_{H^r(div)}が確立される。
• 標準的なスケーリングおよびBramble-Hilbertの議論を用いて、結果は準均一メッシュ上でのhp有限要素法および境界要素法へ拡張可能である。