[論文レビュー] Optimal execution of ASR contracts with fixed notional

Olivier Guéant|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Economic theories and models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、固定ノートリアルを有する加速株式還元（ASR）契約の価格設定および最適実行を統合的に扱うフレームワークを提案する。確率的最適制御とユーティリティインディフェレンス価格設定を統合することで、実行コストとオプション型のペイオフ構造の両方を考慮する。主な貢献は、市場インパクト下で実行戦略と行使タイミングの両方を最適化し、銀行のコストとリスク露出を最小化する動的かつ数値的に扱いやすい解法である。

ABSTRACT

Be it for taking advantage of stock undervaluation or in order to distribute part of their profits to shareholders, firms may buy back their own shares. One of the way they proceed is by including Accelerated Share Repurchases (ASR) as part of their repurchase programs. In this article, we study the pricing and optimal execution strategy of an ASR contract with fixed notional. In such a contract the firm pays a fixed notional $F$ to the bank and receives, in exchange, a number of shares corresponding to the ratio between $F$ and the average stock price over the purchase period, the duration of this period being decided upon by the bank. From a mathematical point of view, the problem is related to both optimal execution and exotic option pricing.

研究の動機と目的

• 固定額Fを支払し、一定期間内の平均株価に基づいて株式を受領する固定ノートリアル付きASR契約の価格設定とヘッジの課題に対処すること。
• 最適実行コストとASR契約に内蔵されたオプション性の相互作用をモデル化すること。これは古典的デリバティブ価格設定では捉えきれない。
• 市場インパクトとヘッジリスクを最小化するように、行使タイミング（ブルマダイン方式）と実行プロファイルを同時に最適化する動的戦略を開発すること。
• 非線形市場インパクト（凸コスト関数を介して）と確率的株価動態を、価格設定と実行フレームワークに統合すること。
• 平均株価および株価プロセスの近似を用いた動的プログラミングと再帰的後退帰納法により、数値的に実行可能な解法を提供すること。

提案手法

• 状態変数として現金残高（x）、株式保有数（q）、株価（S）、平均株価（A）を有する離散時間マルコフ型モデルを採用する。
• 指数ユーティリティを用いたユーティリティインディフェレンス価格設定により契約の価値を評価し、問題をリスク調整コスト関数の最小化に変換する。
• 最適実行戦略は動的プログラミングにより導出され、取引量および行使タイミングの制約を満たす時間ステップにおける再帰的後退計算が行われる。
• 価値関数θₙ(q, S, A)は再帰的に計算され、実行コスト（凸コスト関数Lを介して）とASR契約のペイオフ構造の両方を統合する。
• 平均株価Aの非線形性は、特に恒久的インパクトをモデル化する際、スプラインなどの近似スキームを用いて処理する。
• 将来の状態における指数ユーティリティの期待値を最小化することで最適制御が得られ、価格の不確実性と実行リスクの両方を考慮する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実行コストとオプション型ペイオフ構造が相互に依存する固定ノートリアル付きASR契約の価格設定と最適実行を、どのように同時にモデル化できるか？
• RQ2 市場インパクト下で、株式取得コストを最小化するための最適行使タイミング（離散日付のうち）は何か？
• RQ3 銀行はどのように時間経過とともに取引を動的に実行し、市場インパクトを最小化するとともに、基礎資産株式のショートポジションをヘッジすべきか？
• RQ4 非線形市場インパクト（例えば、厳密に凸なコスト）は、ASR契約の最適実行戦略および価格設定にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 平均株価プロセスAおよび平均の非マルコフ性を伴う状況下で、価値関数をどのように数値的に計算できるか？

主な発見

• 最適実行戦略は、実行コストとヘッジリスクのバランスを取る動的プログラミング問題の解として得られ、価値関数θₙ(q, S, A)は指数ユーティリティ下での最小コストを表す。
• フレームワークは、ペイオフに固定ノートリアルFと平均株価Aτの両方を反映しており、受領株式数がF/Aτとして、行使タイミングに依存することを保証する。
• 最適戦略は、早期行使（オプションリスクを低減）と遅延行使（市場インパクトを低減）のトレードオフを含み、最適行使時刻は期待コストを最小化するように決定される。
• 非線形市場インパクトは凸コスト関数L(v/V)を介して統合され、大規模な取引に対するペナルティとして、実際の市場の非流動性を反映する。
• 数値的解法には平均株価プロセスAの近似技術（特に恒久的インパクトをモデル化する際）が必要であるが、後退帰納法によりフレームワークは計算的に実行可能である。
• 最終的な価格設定式は、指数ユーティリティを含む期待値の下界（infimum）として、行使時刻および取引戦略の上での表現され、ユーティリティインディフェレンス下でリスク中立的価格設定を保証する。