[論文レビュー] Optimal Function Approximation with Relu Neural Networks

Bo Liu, Yi Liang|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2019

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、固定された線形セグメント数を有するフィードフォワードReLUニューラルネットワークを用いた凸一変数関数の最適近似の理論的基盤を確立する。最適性の必要十分条件を導出し、近似誤差のタイトな境界を提示し、特化したネットワークアーキテクチャを設計し、与えられた線形セグメント数に対して最小誤差で最適な区分線形近似を計算する収束性を持つアルゴリズムを提案する。

ABSTRACT

We consider in this paper the optimal approximations of convex univariate functions with feed-forward Relu neural networks. We are interested in the following question: what is the minimal approximation error given the number of approximating linear pieces? We establish the necessary and sufficient conditions and uniqueness of optimal approximations, and give lower and upper bounds of the optimal approximation errors. Relu neural network architectures are then presented to generate these optimal approximations. Finally, we propose an algorithm to find the optimal approximations, as well as prove its convergence and validate it with experimental results.

研究の動機と目的

• 固定された線形セグメント数を有するReLUニューラルネットワークを用いて凸一変数関数を近似する際、達成可能な最小近似誤差を特定すること。
• そのような近似の一意性と最適性の必要十分条件を確立すること。
• 最適近似誤差の理論的下界と上界を導出すること。
• これらの最適近似を実現するReLUニューラルネットワークアーキテクチャを設計すること。
• 最適区分線形近似を計算するためのアルゴリズムの開発および収束性の証明すること。

提案手法

• 凸一変数関数の理論的分析を通じて、ReLUネットワークを用いた最適区分線形近似の構造を特徴づける。
• ネットワークに含まれる線形セグメント数に基づいて、近似誤差の下界と上界を導出する。
• 導出された最適誤差境界に到達するReLUニューラルネットワークアーキテクチャを構築する。
• 区分線形近似の最適なブレークポイントおよび重みを計算する反復的アルゴリズムを設計する。
• 提示された理論的枠組みの下で、提案されたアルゴリズムの収束性を証明する。
• 実験結果を通じてアルゴリズムの有効性を検証し、最小誤差を達成していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定された線形セグメント数を有するReLUニューラルネットワークを用いて凸一変数関数を近似する際、達成可能な最小近似誤差は何か？
• RQ2 最適近似が一意である条件は何か、そしてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 このようなネットワークにおける近似誤差のタイトな理論的下界と上界は何か？
• RQ4 ReLUニューラルネットワークアーキテクチャをどのように体系的に設計すれば最適近似性能を達成できるか？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは最適解に収束するか、実際の性能はいかがなっているか？

主な発見

• 本論文は、ReLUネットワークを用いた凸一変数関数の区分線形近似の一意性と最適性の必要十分条件を確立する。
• 線形セグメント数に依存するタイトな最適近似誤差の下界と上界が導出された。
• 理論的に最適な誤差境界に到達する特化したReLUニューラルネットワークアーキテクチャが構築された。
• 提案されたアルゴリズムは最適近似に収束し、テスト関数に対する実験結果でその有効性が検証された。
• 理論的誤差境界が漸近的にタイトであることが示され、構築された近似の最適性が裏付けられた。
• 本手法は、凸一変数関数の最適関数近似を達成する最小深さのReLUネットワークを体系的に設計するための原理的枠組みを提供する。