[論文レビュー] Optimal H2 moment matching-based model reduction for linear systems by (non)convex optimization

Ion Necoara, Tudor C. Ionescu|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、勾配ベースの最適化手法と凸半定計画（SDP）緩和を併用することで、線形システムの最適H₂モーメントマッチングに基づく低次元モデルを計算する非凸最適化フレームワークを提案する。主な貢献は、誤差システムのグラミアンを用いて導出された一次最適性条件であり、収束保証付きのアルゴリズムを可能にし、固定された補間点法よりも誤差低減性能に優れる。ダブルペンダンラムやCDプレーヤーのモデルといったベンチマーク系でその有効性が実証された。

ABSTRACT

In this paper we compute families of reduced order models that match a prescribed set of moments of a highly dimensional linear time-invariant system. First, we fully parametrize the models in the interpolation points and in the free parameters, and then we fix the set of interpolation points and parametrize the models only in the free parameters. Based on these two parametrizations and using as objective function the H2-norm of the error approximation we derive non-convex optimization problems, i.e., we search for the optimal free parameters and even the interpolation points to determine the approximation model yielding the minimal H2-norm error. Further, we provide the necessary first-order optimality conditions for these optimization problems given explicitly in terms of the controllability and the observability Gramians of a minimal realization of the error system. Using the optimality conditions, we propose gradient type methods for solving the corresponding optimization problems, with mathematical guarantees on their convergence. We also derive convex SDP relaxations for these problems and analyze when the convex relaxations are exact. We illustrate numerically the efficiency of our results on several test examples.

研究の動機と目的

• 線形時不変システムに対して、モーメントマッチングを用いた最適H₂ノルムモデル低次元化フレームワークの構築。
• 従来のモーメントマッチングにおける固定補間点の制限を克服し、自由パラメータと補間点の両方を最適化すること。
• モーメントマッチング族におけるH₂誤差最小化の一次最適性条件の導出。
• 収束保証付きの勾配型アルゴリズムと、グローバル最適性解析のための凸SDP緩和の提案。
• 標準ベンチマーク系を用いた数値的検証により、顕著なH₂誤差低減を実現。

提案手法

• 低次元モデルを補間点と自由パラメータでパrametrizeし、補間点を固定した上で自由パラメータのみを最適化する。
• 伝達関数とそのモーメントを用いて、誤差システムのH₂ノルムを最小化する非凸最適化問題を定式化する。
• 誤差システムの最小実現における可制御性および可観測性グラミアンを用いて、明示的な一次最適性条件を導出する。
• 理論的収束保証付きの勾配型アルゴリズムを提案し、最適化問題を解く。
• 非凸問題の近似と、緩和問題が正確に一致する条件の分析のための凸SDP緩和を構築する。
• 固定および自由補間点設定の両方の設定に本フレームワークを適用し、最適化による補間点の反復的改善を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメントマッチングに基づくモデル低次元化において、補間点と自由パラメータを同時に最適化することで、誤差のH₂ノルムを最小化できるか？
• RQ2 モーメントマッチング低次元モデル族におけるH₂誤差最小化の一次最適性条件は何か？
• RQ3 非凸H₂最適化問題におけるモデル低次元化において、収束する勾配ベースの手法をどのように設計できるか？
• RQ4 非凸問題の凸SDP緩和が正確である条件は何か？
• RQ5 標準ベンチマーク系において、本手法は固定補間点法に比べてH₂誤差性能で優れているか？

主な発見

• 提案手法は、ゼロで2つのモーメントをマッチさせる固定補間点モデルと比較して、H₂誤差を99.5％低減し、誤差を1.86×10⁻¹から0.6232×10⁻⁴にまで削減した。
• 補間点の最適化（例：0.0109±0.0946j）により、固定点（例：0）よりも顕著に低いH₂誤差が達成され、自由点最適化の利点が明確に示された。
• 勾配ベースのアルゴリズムは、σ(F) = −0.1624±0.5422 の安定な低次元モデルに収束し、H₂誤差を最小化しながら安定性を保証した。
• SDP緩和はグローバル最小値のタイトな上限を提供し、特定の構造的条件下で正確性が解析的に特徴付けられた。
• CDプレーヤー系（120状態）において、スパースで低周波数の補間点を用いた場合、密度の高い点よりも、ν=10の低次元でより低いH₂誤差を達成した。
• 本手法は安定性とモーメントマッチングを維持しながら、誤差のH₂ノルムを最小化し、誤差指標において標準的なモーメントマッチングおよびバランストランセントレーション手法を凌駆した。