[論文レビュー] Optimal hypothesis testing for stochastic block models with growing degrees

Debapratim Banerjee, Zongming Ma|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Random Matrices and Applications参考文献 48被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、次数が増大するストークスティックブロックモデル（SBM）に対する最適な仮説検定を構築する。Chebyshev多項式の線形スペクトル統計を活用し、連続的漸近的枠組みで最適漸近的パワーを達成する検定を構成する。スペクトル統計に関する中心極限定理を確立し、計算的に効率的でデータ駆動型の検定を提案する。多ブロックSBMにおいても高いパワーを維持する。

ABSTRACT

The present paper considers testing an Erdos--Renyi random graph model against a stochastic block model in the asymptotic regime where the average degree of the graph grows with the graph size n. Our primary interest lies in those cases in which the signal-to-noise ratio is at a constant level. Focusing on symmetric two block alternatives, we first derive joint central limit theorems for linear spectral statistics of power functions for properly rescaled graph adjacency matrices under both the null and local alternative hypotheses. The powers in the linear spectral statistics are allowed to grow to infinity together with the graph size. In addition, we show that linear spectral statistics of Chebyshev polynomials are closely connected to signed cycles of growing lengths that determine the asymptotic likelihood ratio test for the hypothesis testing problem of interest. This enables us to construct a sequence of test statistics that achieves the exact optimal asymptotic power within $O(n^3 \log n)$ time complexity in the contiguous regime when $n^2 p_{n,av}^3 o\infty$ where $p_{n,av}$ is the average connection probability. We further propose a class of adaptive tests that are computationally tractable and completely data-driven. They achieve nontrivial powers in the contiguous regime and consistency in the singular regime whenever $n p_{n,av} o\infty$. These tests remain powerful when the alternative becomes a more general stochastic block model with more than two blocks.

研究の動機と目的

• ネットワークサイズに伴い平均次数が増大する状況において、Erdős–Rényiランダムグラフモデルと対称的二ブロックストークスティックブロックモデルの間の根本的問題を検討すること。
• 帰無仮説および局所代替仮説の下で、累乗関数およびChebyshev多項式の線形スペクトル統計に関する連合中心極限定理を導出すること。
• 連続的漸近的枠組み $ n^2 p_{n, ext{av}}^3 \to \infty $ において、正確な最適漸近的パワーを達成する検定統計量を構築すること。
• モデルパラメータの事前知識を必要とせず、完全にデータ駆動型である計算的に実行可能な適応的検定を提案すること。
• パワーと計算可能性を保ちつつ、多ブロックストークスティックブロックモデルへのフレームワークの拡張を図ること。

提案手法

• 適切にスケーリングされた隣接行列に累乗関数を適用した線形スペクトル統計に関する、帰無仮説および局所代替仮説の下での連合中心極限定理を導出する。
• 線形スペクトル統計におけるChebyshev多項式と、長さが増大する符号付きサイクルとの間の関係を確立し、これは漸近的尤度比検定の中心的役割を果たす。
• Chebyshev多項式のスペクトル統計に基づく検定統計量を構築し、$ O(n^3 \log n) $ 時間計算量内で最適漸近的パワーを達成する。
• モデルパラメータの事前知識を必要とせず、完全にデータ駆動型である適応的検定のクラスを提案する。
• Chebyshev多項式の直交性と $[-2,2]$ 上のスペクトル測度との関係を用いて、漸近的解析に必要な主要な恒等式を導出する。
• モーメントの方法とトレース展開を用いて、帰無モデルおよび代替モデル下でのスペクトル統計の漸近的挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均次数が $ n $ と共に増大する状況において、Erdős–Rényiモデルと対称的二ブロックSBMの間の最適漸近的パワーは何か？
• RQ2 帰無仮説および局所代替仮説の下で、累乗関数およびChebyshev多項式の線形スペクトル統計はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 Chebyshev多項式のスペクトル統計に基づく検定は、連続的枠組みで正確な最適漸近的パワーを達成できるか？
• RQ4 このような最適検定を構築する計算複雑度は何か？ そして、効率的かつデータ駆動型にできるか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、二つを超えるブロックを有するストークスティックブロックモデルへどのように拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、帰無仮説および局所代替仮説の下で、累乗関数およびChebyshev多項式の線形スペクトル統計に関する連合中心極限定理を確立した。
• Chebyshev多項式の線形スペクトル統計が、長さが増大する符号付きサイクルと漸近的に同等であることが示され、これは尤度比検定の中心的役割を果たす。
• Chebyshev多項式のスペクトル統計に基づく検定統計量は、連続的枠組み $ n^2 p_{n, ext{av}}^3 \to \infty $ において正確な最適漸近的パワーを達成し、$ O(n^3 \log n) $ 時間計算量を有する。
• 計算的に実行可能で完全にデータ駆動型の適応的検定が提案され、連続的枠組みでは非自明なパワーを達成し、特異的枠組みでは一貫性を示す。$ np_{n, ext{av}} \to \infty $ のとき常に成立する。
• フレームワークは多ブロックストークスティックブロックモデルへ一般化可能であり、ブロック数が二つを超過しても、提案された検定は依然として高いパワーを維持する。
• 解析により $ \frac{2(\kappa-1)}{\kappa} > 1 $ が $ \kappa \geq 3 $ のとき成り立つことが確認され、これはサイクル数の指数的増加を裏付け、検定のパワーを支援する。