[論文レビュー] Optimal immunity control by social distancing for the SIR epidemic model

Pierre‐Alexandre Bliman, Michel Duprez+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、SIR疫病モデルにおける最適制御問題を定式化し、感染負担を最小化するための最適な社会的距離の取り方（具体的にはロックダウンのタイミングと強度）を特定することを目的としている。無限時間の枠組みにおいて、回復者数を最大化し、感染症の拡大を抑制する。最適制御の存在と一意性を証明し、フランス2020年のロックダウン条件のもとで、この戦略により、制御されない感染拡大と比較して、最終的な感受性者割合を最大で30%向上させられることを示している。

ABSTRACT

Until a vaccine or therapy is found against the SARS-CoV-2 coronavirus, reaching herd immunity appears to be the only mid-term option. However, if the number of infected individuals decreases and eventually fades only beyond this threshold, a significant proportion of susceptible may still be infected until the epidemic is over. A containment strategy is likely the best policy in the worst case where no vaccine or therapy is found. In order to keep the number of newly infected persons to a minimum, a possible strategy is to apply strict containment measures, so that the number of susceptible individuals remains close to herd immunity. Such an action is unrealistic since containment can only last for a finite amount of time and is never total. In this article, using a classical SIR model, we determine the (partial or total) containment strategy on a given finite time interval that maximizes the number of susceptible individuals over an infinite horizon, or equivalently that minimizes the total infection burden during the curse of the epidemic. The existence and uniqueness of the optimal strategy is proved and the latter is fully characterized. If applicable in practice, such a strategy would lead theoretically to an increase by 30% of the proportion of susceptible on an infinite horizon, for a containment level corresponding to the sanitary measures put in place in France from March to May 2020. We also analyze the minimum intervention time to reach a fixed distance from herd immunity, and show the relationship with the previous problem. Simulations are provided that illustrate and validate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 疫病の進行中に累積感染負担を最小化する最適な社会的距離の取り方を特定すること。
• 無限時間枠組みにおける最終時点での感受性者数を最大化すること（累積感染数の最小化に相当する）。
• 有限の干渉期間を想定したSIRモデルにおける最適制御戦略（ロックダウンのタイミングと強度）を特徴づけること。
• ヒトミ免疫閾値に所定の近さまで到達するための最小干渉時間を見積もること。
• 最適制御問題の理論的結果を、数値シミュレーションにより検証すること。

提案手法

• 社会的距離（u3）、予防接種（u1）、隔離（u2）を表す制御入力を導入した、変更されたSIRモデルを定式化する。
• 2つの最適制御問題を導入する：(Pα,T) は時刻Tにおける感受性者数の最大化を、(ePα,T) は無限時間にわたる感染負担の最小化を目的とする。
• ポントレヤーギンの最大原理を用いて最適性の必要条件を導出し、最適制御がバン・バン制御または特異制御として特徴づけられることを示す。
• 二分探索に基づく数値アルゴリズムを用いて最適制御問題を解き、最適干渉時刻T*0を計算する。
• 保存則 S + I - (ν/β)ln S = 定数 を用いて、漸近的感受性者割合 S∞ の解析的公式を導出する。
• 延長された時間枠（最大200日）における数値シミュレーションを通じて、理論的結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 疫病の全期間にわたって累積感染数を最小化する最適な社会的距離の取り方は何か？
• RQ2 有限期間のロックダウンを適用することで、最終的な感受性者数をどのように最大化できるか？
• RQ3 感受性者集団をヒトミ免疫閾値から所定の距離内に持ってくるために必要な最小干渉期間は何か？
• RQ4 最適制御戦略は、社会的距離の強度（制御パラメータα）にどのように依存するか？
• RQ5 理論的最適制御は、数値シミュレーションによって近似可能で、検証可能か？

主な発見

• 最適制御戦略はバン・バン制御または特異制御であり、無限時間枠組みにおいて感受性者数をヒトミ免疫閾値（Sherd = ν/β）にできるだけ近づけるように維持する。
• フランス2020年のロックダウン強度（α ≈ 0.231）のもとで、最適戦略により、制御されない感染拡大と比較して、最終的な感受性者割合が約30%向上する。
• 最適制御問題は一意な解を有し、最適干渉時刻T*0は感染負担関数jΦの単峰性に起因する。
• 制御強度αが十分に小さい場合（α ≈ 0.56）、無限時間内に感受性者数をヒトミ免疫閾値（Sherd）に任意に近づけることができる。
• 十分に大きなTに対して、αが高すぎる（ロックダウンが不十分）場合、最適制御は干渉を一切行わない（T*0 = 0）ことを示し、疫病が有意義に抑えられないことを示している。
• 数値シミュレーションにより、(Pα,T)と(ePα,T)の最適軌道が一致し、理論的予測と一致することが確認され、解析的枠組みの妥当性が検証された。