[論文レビュー] Optimal Investment in a Dual Risk Model

Arash Fahim, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2015

Probability and Risk Models参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハイテク企業やベンチャーキャピタル企業の破産確率を最小化するための最適研究開発（R&D）投資戦略を、二重リスクモデルにおいて提案する。R&D投資を、純資産過程のドリフトおよびジャンプ強度に影響を与える制御変数としてモデル化することで、状態依存ダイナミクス下での最小破産確率の閉形式表現を導出し、資産が臨界閾値を上回る場合に破産確率が指数関数的に減少することを示している。

ABSTRACT

Dual risk models are popular for modeling a venture capital or high tech company, for which the running cost is deterministic and the profits arrive stochastically over time. Most of the existing literature on dual risk models concentrated on the optimal dividend strategies. In this paper, we propose to study the optimal investment strategy on research and development for the dual risk models to minimize the ruin probability of the underlying company. We will also study the optimization problem when in addition the investment in a risky asset is allowed.

研究の動機と目的

• 従来の配当戦略に焦点を当てているが、二重リスクモデルにおけるR&D投資の最適化研究が不足しているという問題に取り組む。
• R&D投資の増加が企業の運転コストおよび利益到着強度に与える影響をモデル化し、破産リスクに与える影響を明らかにする。
• ハイテク企業やベンチャーキャピタル企業の最終的破産確率を最小化する最適R&D投資戦略を導出する。
• R&D投資が純資産過程のドリフトおよびジャンプ強度の両方に影響を与える状態依存ダイナミクスを組み込んだ、二重リスクモデルの拡張を行う。
• 最適R&D投資下での最小破産確率の明示的解析的表現を提供し、戦略的意思決定の定量的評価を可能にする。

提案手法

• 本稿は、現在の資産およびR&D投資水準に依存する運転コストおよび利益到着レートを有する状態依存型二重リスクモデルを定式化する。
• R&D投資は、利益到着強度を増加させると同時に運転コストを上昇させる制御変数としてモデル化され、破産確率に影響を与えるトレードオフを生じる。
• 最適投資戦略は確率的制御理論を用いて導出され、破産確率の価値関数に対するハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を解くことで得られる。
• 解法には、候補となる最適制御の構築と、検証定理を用いた正当化を含み、最小破産確率の明示的表現が得られる。
• γ = 1の場合、最適戦略はバン・バン型である：資産が臨界閾値 x* 未満の場合は投資なし、x* を超える場合は無限大の投資。
• 修正ベッセル関数および補完誤差関数（erfc）を含む積分を用いた、最小破産確率の閉形式表現が、特に指数分布および力乗法則ジャンプサイズ分布に対して導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存ダイナミクスを有する二重リスクモデルにおいて、破産確率を最小化する最適R&D投資水準は何か？
• RQ2 最適R&D投資戦略は、初期資産および利益到着強度やコストレートなどのモデルパラメータにどのように依存するか？
• RQ3 R&D投資を最適に選択した場合の最小破産確率の解析的形は何か？
• RQ4 最適R&D投資は、初期資産が増加するに従い、破産確率の減少が指数的か多項式的かを加速させるか？
• RQ5 どのような条件下でR&Dに大幅に投資することが最適となり、逆に投資を控えることがより好ましくなるか？

主な発見

• 最適R&D投資下での最小破産確率は、企業の資産が臨界閾値 x* を超えると初期資産に対して指数関数的に減少するが、資産が x* 未満の場合は多項式的減少を示す。
• γ = 1の場合、最適戦略はバン・バン型である：資産 x ≤ x* の場合は投資なし、x > x* の場合は無限大の投資。ここで x* = (λ₀ − δ₀ + ν)/(δ₀ − ν) である。
• 最小破産確率の閉形式表現は、修正ベッセル関数および補完誤差関数を含む積分の比として与えられ、モデルパラメータに明示的な依存関係を示す。
• R&D投資を行わない場合（C₀ = 0）、破産確率は多項式的減少を示し、式 (5.8) に示すように 0 から 1 の間で厳密に位置する。
• 数値的例示により、最適R&D投資が破産確率を顕著に低減することが確認され、特に初期資産が高い場合に顕著である。赤破線（最適）は青線（投資なし）の下に明確に位置している。
• 状態依存パラメータに応じて、破産確率は非指数的、指数的、または超指数的減少を示すことがあり、初期資産の関数としての破産確率の凸性を仮定する考え方に挑戦する。