[論文レビュー] Optimal investment with time-varying stochastic endowments

Christoph Belak, An Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2014

Financial Markets and Investment Strategies被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、動的プログラミングおよび可視化解を用いて、不完全市場における時間的に変化する確率的所得の下での最適投資を研究する。次元削減を用いて、価値関数がハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン（HJB）方程式の古典解であることを証明し、最適戦略を導出し、高相関下でも、漸近的に戦略がメルトン比に収束することを示している。

ABSTRACT

This paper considers a utility maximization and optimal asset allocation problem in the presence of a stochastic endowment that cannot be fully hedged through trading in the financial market. After studying continuity properties of the value function for general utility functions, we rely on the dynamic programming approach to solve the optimization problem for power utility investors including the empirically relevant and mathematically challenging case of relative risk aversion larger than one. For this, we argue that the value function is the unique viscosity solution of the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation. The homogeneity of the value function is then used to reduce the HJB equation by one dimension, which allows us to prove that the value function is even a classical solution thereof. Using this, an optimal strategy is derived and its asymptotic behavior in the large wealth regime is discussed.

研究の動機と目的

• 投資家が時間的に変化する確率的で hedge できない所得を受け取る状況における最適資産配分をモデル化すること。
• 取引資産と完全に相関しない所得リスクを有する不完全市場の課題に対処すること。
• プライマル HJB アプローチを用いて、時間的に変化する確率的所得を含む古典的メルトン問題を拡張すること。
• 可視化理論と次元削減を用いて、価値関数を古典解として厳密に確立すること。
• 資産対所得比率が増加する際の最適戦略の漸近的挙動を特定すること。

提案手法

• 有限時間ホライゾンにおける効用最大化問題を定式化し、確率的所得に時間非一様な幾何ブラウン運動を適用する。
• 動的プログラミング原理を適用して、価値関数のハミルトニアン・ジャコビ・ベルルマン（HJB）方程式を導出する。
• 可視化解理論を用いて、価値関数の一意性および連続性を確立する。
• 価値関数の斉次性を活用して、HJB方程式を1次元削減し、一様に強楕円型の放物型偏微分方程式を得る。
• 削減された価値関数が古典解であることを証明し、最適戦略の明示的構成を可能にする。
• フィードバック形式での最適戦略を構築し、資産SDEの係数がグローバルリプシッツでない場合でもその一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的所得が存在する状況下で、価値関数がHJB方程式の古典解であるための条件は何か？
• RQ2 資産対所得比率が無限大に近づく際、最適投資戦略はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 所得リスクがリスク資産と相関している場合でも、最適戦略がメルトン比に収束できるか？
• RQ4 収入と株式リターンの相関が、最適株式配分に果たす役割は何か？
• RQ5 どのようなパrameter条件下で最適戦略がメルトン比と一致するか？

主な発見

• 価値関数はHJB方程式の一意な連続可視化解であり、正則性のもとで次元削減後に古典解に一致する。
• 最適戦略は、関連SDEの係数がグローバルリプシッツでない場合でも、フィードバック形式で一意に表現可能である。
• 資産対所得比率が増加するにつれ、最適戦略は、所得リスクの有無にかかわらず、常にメルトン比に収束する。
• 収入とリスク資産リターンの相関が十分に高い場合、最適戦略はメルトン比を下回るようになる。これはヘッジ需要を反映している。
• 臨界相関閾値 ρ* が存在し、ρ > ρ* の場合、最適戦略は厳密にメルトン比未満となる。ρ < ρ* の場合、厳密にメルトン比を超える。
• 臨界相関 ρ* = (μ−r)/(σσC(1−γ)) は、最適戦略がメルトン比に等しくなる条件を決定し、リスク回避度および市場パrameterに依存する。