[論文レビュー] Optimal joint measurement of two observables of a qubit

Sixia Yu, Changhun Oh|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2014

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、量子ビットの非可換な観測量を同時に測定する際の最悪誤差の正確なトレードオフ関係を提示し、すべての達成可能な誤差ペアの完全な特徴付けを導出する。導出した境界に達する、アーキテクチャに依存しない最適な同時測定を明示的に構成し、任意の誤差の非対称性を考慮した状態に依存しない不確定性関係を提供する。

ABSTRACT

Heisenberg's uncertainty relations for measurement quantify how well we can jointly measure two complementary observables and have attracted much experimental and theoretical attention recently. Here we provide an exact tradeoff between the worst-case errors in measuring jointly two observables of a qubit, i.e., all the allowed and forbidden pairs of errors, especially asymmetric ones, are exactly pinpointed. For each pair of optimal errors we provide an optimal joint measurement that is realizable without introducing any ancilla and entanglement. Possible experimental implementations are discussed and Toronto experiment [Rozema et al., Phys. Rev. Lett. 109, 100404 (2012)] can be readily adapted to an optimal joint measurement of two orthogonal observables.

研究の動機と目的

• 2つの非可換な量子ビット観測量を同時に測定する際の、すべての可能な最悪誤差ペアと禁止されるペアの完全な集合を特定すること。
• 補助系やエンタングルメントを必要とせず、最小誤差を達成する明示的な最適な同時測定を構成すること。
• 従来の境界を一般化し、特に非対称な誤差ペアに対して、タイトで状態に依存しない不確定性関係を提供すること。
• 既存の実験的検証（例：トロント実験）を直接応用し、正確な誤差トレードオフを検証可能にする。

提案手法

• 著者らは、すべての入力状態に対して、鋭い測定と不鋭い測定の確率分布間の最大トレース距離として最悪誤差を定義する。
• 4つの結果を持つ正値作用素測定（POVM）を用いて同時測定をモデル化し、その周辺分布が観測量AおよびBの不鋭い表現を定義する。
• 幾何的最適化を用い、ベクトル $\vec{a}-\vec{m}$ および $\vec{b}-\vec{n}$ が、同時測定可能性制約によって定義される楕円体に接するようにする条件を導出する。
• 接続条件から得られる方程式系を解くことで、パラメータ $\varphi$ と $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を用いたパラメトリック形式での最適誤差トレードオフ曲線を導出する。
• 解は、$\theta$、$\varphi$、および内積 $C = \vec{m} \cdot \vec{n}$ を用いて $\mathcal{E}_a$ と $\mathcal{E}_b$ の明示的表現を導く。最小化のため $\mu = \nu = 1$ を選択する。
• 誤差トレードオフ曲線は、すべての $\varphi \in [0, \pi/2]$ に対して成り立つ線形境界 $\epsilon_a \sin\varphi + \epsilon_b \cos\varphi \geq \sqrt{1 + \sin\theta \sin 2\varphi} - 1$ の包絡線として示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの非可換な量子ビット観測量を同時に測定する際の、最悪誤差ペアの正確な集合は何か？
• RQ2 補助系やエンタングルメントを用いずに、誤差トレードオフ境界に達する最適な同時測定を構成可能か？
• RQ3 誤差が非対称な条件下で誤差トレードオフはどのように振る舞い、一方の観測量を最小誤差で測定した場合に、もう一方の最小達成誤差は何か？
• RQ4 導出されたトレードオフ曲線は、最もタイトな境界であり得るか？ また、従来のBLW和の境界を一般化するか？
• RQ5 トロント実験のような既存の実験的セットアップを、正確な誤差トレードオフを検証するために直接応用可能か？

主な発見

• 2つの量子ビット観測量 $A = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ および $B = \vec{b} \cdot \vec{\sigma}$ を測定する際の最悪誤差 $\mathcal{E}_a$ と $\mathcal{E}_b$ の正確なトレードオフは、パラメトリック曲線 $\mathcal{E}_a = \sqrt{1 - C^2 \cos^2\varphi} - \sin\varphi$、$\mathcal{E}_b = \sqrt{1 - C^2 \sin^2\varphi} - \cos\varphi$ で与えられる。ここで $C = \vec{m} \cdot \vec{n}$ であり、$\theta = \angle(\vec{a}, \vec{b})$ である。
• 最適な誤差ペアは $\mu = \nu = 1$ のとき達成され、両方の観測量に対して可能な最小誤差が保証される。
• 誤差トレードオフ曲線は、すべての $\varphi \in [0, \pi/2]$ に対して成り立つ線形境界 $\epsilon_a \sin\varphi + \epsilon_b \cos\varphi \geq \sqrt{1 + \sin\theta \sin 2\varphi} - 1$ の包絡線であり、$\varphi = \pi/4$ でBLW和の境界に一般化される。
• 直交する観測量（$\theta = \pi/2$）の場合、一方の観測量が誤差なしに測定されるとき、もう一方の最小誤差は $\sin\theta = 1$ であり、最適誤差ペアは $\mathcal{E}_a^2 + \mathcal{E}_b^2 = 2 - 2\sqrt{1 - \mathcal{E}_a^2\mathcal{E}_b^2}$ で定義される曲線上にある。
• 最適な同時測定は、補助系やエンタングルメントを必要とせず、POVMによって実現可能であり、実験的に実装可能である。
• 最悪誤差 $\mathcal{E}_a = |x| + |\vec{a} - \vec{m}|$ および $\mathcal{E}_b = |y| + |\vec{b} - \vec{n}|$ は状態に依存せず、測定装置の内在的精度を完全に特徴付ける。