[論文レビュー] Optimal $k$-Deletion Correcting Codes

Jin Sima, Jehoshua Bruck|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2019

DNA and Biological Computing参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、制約付き系列、ブロック分離のための同期パターン、および再冗長度最適化された外部および内部符号を用いた、新しい連結符号構造を通じて、最適な冗長度 $O(k\log n)$ を達成する最初の決定的 $k$-削除訂正符号を提示する。符号化と復号の計算量はそれぞれ $O(n^{2k+1})$ および $O(n^{k+1})$ であり、1966 年にレーヴェンシュタインが提起した長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Levenshtein introduced the problem of constructing $k$-deletion correcting codes in 1966, proved that the optimal redundancy of those codes is $O(k\log N)$, and proposed an optimal redundancy single-deletion correcting code (using the so-called VT construction). However, the problem of constructing optimal redundancy $k$-deletion correcting codes remained open. Our key contribution is a solution to this longstanding open problem. We present a $k$-deletion correcting code that has redundancy $8k\log n +o(\log n)$ and encoding/decoding algorithms of complexity $O(n^{2k+1})$ for constant $k$.

研究の動機と目的

• 決定的 $k$-削除訂正符号を、最適な冗長度 $O(k\log n)$ で構築するという長年の未解決問題を解決すること。
• 定数 $k$ に対して多項式時間計算量を達成する符号化および復号方式を設計すること。
• 1 つの 1 の間隔に最小距離 $k$ を持つ系列に制約を加えることで、単一削除符号のヴァルシャモフ・テネゴールツ（VT）構成を $k$ 削除に一般化すること。
• 削除によって破壊されたり生成されたりする可能性がある、1 つの削除可能な同期パターンを用いて、連結符号におけるブロック分離を実現すること。
• $k\log n + o(\log n)$ の理論的下界に非常に近い冗長度を達成しながら、$k$ 削除の下でも正しく復号できるようにすること。

提案手法

• 2 つの 1 の間に少なくとも $k$ 個の 0 を含むように系列を制約することで、VT 構成を $k$-削除訂正に一般化し、$k$ 削除を是正できる高次パリティーチェックを可能にする。
• 長さ $3k + \lceil\log k\rceil + 4$ の同期パターンを用い、最後に $\lceil\log k\rceil + 5$ 個の連続する 1 を持ち、それ以外に同程度の長さの 1 の連続列を持たないことで、ブロック境界をマークする。
• 入力系列に変換 $T(\mathbf{c})$ を適用して $k$-密集系列を生成し、同期ベクトルとハッシュ関数を用いて $k$ 削除からの回復を可能にする。
• 再帰的符号に類似た外部符号と、$Rep_{k+1}(H(R'))$ に基づく繰り返し型内部符号を用いて冗長ビット $R'$ を保護し、$k$ 削除からの回復を保証する。
• $k$ 削除された部分列から $R'$ を復元し、次に $R''$ と $H(R')$ を用いて $R'$ を復元し、最後に同期ベクトルとハッシュ関数を用いて $T(\mathbf{c})$ を復元し、$T$ の逆変換により $\mathbf{c}$ を復元する。
• 符号化では $p(T(\mathbf{c}))$ の素数をブルートフォース探索し、復号では同期ベクトルをブルートフォース探索することで、それぞれ $O(n^{2k+1})$ および $O(n^{k+1})$ の計算量を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的 $k$-削除訂正符号を、理論的下界である $O(k\log n)$ に一致する冗長度で構築することは可能か？
• RQ2 マーカーの保存を必要とせず、1 つの削除可能な同期パターンのみを用いて、連結 $k$-削除符号におけるブロック分離を達成できるか？
• RQ3 1 つの 1 の間隔に最小距離 $k$ を持つ系列に制約を加えることで、VT 構成を $k$ 削除訂正に一般化することは可能か？
• RQ4 定数 $k$ に対して多項式時間の符号化と復号を維持しながら、冗長度を $O(k\log n)$ にまで低減できるか？
• RQ5 決定的 $k$-削除符号で達成可能な最小冗長度は何か？ そして、効率的なアルゴリズムでそれを達成できるか？

主な発見

• 本論文は、冗長度 $8k\log n + o(\log n)$ を有する $k$-削除訂正符号を構築し、最適なオーダー $O(k\log n)$ を達成する。
• 符号化の計算量は $O(n^{2k+1})$、復号の計算量は $O(n^{k+1})$ であり、定数 $k$ に対して $n$ について多項式時間である。
• 削除によって破壊されたり生成されたりする可能性がある長さ $3k + \lceil\log k\rceil + 4$ の新しい同期パターンを用いて、堅牢なブロック分離を実現する。
• 1 つの 1 の間に最小距離 $k$ を持つ系列に制約を加えることで、$k$-制約付き系列に対する高次パリティーチェックを適用し、$k$-削除訂正を可能にする。
• 冗長度 $R'$ は $R'' = Rep_{k+1}(H(R'))$ によって保護され、$R''$ からの $k$ 削除において $H(R')$ を回復可能である。
• 復号プロセスは符号化手順の逆操作であり、まず $R''$ から $H(R')$ を復元し、次に $R''$ と $H(R')$ を用いて $R'$ を復元し、最後に同期ベクトルとハッシュ関数を用いて $T(\mathbf{c})$ と $\mathbf{c}$ を再構築する。