[論文レビュー] Optimal Label Splitting for Embedding an LTS into an arbitrary Petri Net Reachability Graph is NP-complete

Uli Schlachter, Harro Wimmel|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2020

Petri Nets in System Modeling参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ラベル付き遷移系（LTS）をペトリ・ネットの到達可能性グラフに埋め込む際、異なるラベルの数を最小化する最適なラベル分割を求める問題が、NP完全であることを証明している。ラベル分割による埋め込みは常に可能であるが、ラベル数の最小化を課すと、多項式時間で解ける問題がNP完全に変わる。これは、ペトリ・ネットの行動モデル合成における根本的な複雑さのトレードオフを示している。

ABSTRACT

For a given labelled transition system (LTS), synthesis is the task to find an unlabelled Petri net with an isomorphic reachability graph. Even when just demanding an embedding into a reachability graph instead of an isomorphism, a solution is not guaranteed. In such a case, label splitting is an option, i.e. relabelling edges of the LTS such that differently labelled edges remain different. With an appropriate label splitting, we can always obtain a solution for the synthesis or embedding problem. Using the label splitting, we can construct a labelled Petri net with the intended bahaviour (e.g. embedding the given LTS in its reachability graph). As the labelled Petri net can have a large number of transitions, an optimisation may be desired, limiting the number of labels produced by the label splitting. We show that such a limitation will turn the problem from being solvable in polynomial time into an NP-complete problem.

研究の動機と目的

• ラベル分割を介してLTSをペトリ・ネットの到達可能性グラフに埋め込む際、導入されるラベルの数を最小化する問題の計算複雑性を調査すること。
• ラベル分割におけるラベル数の制限が、標準的な埋め込み問題よりも計算的に難易度を高めるかどうかを特定すること。
• 埋め込みを正確な同型写像ではなく、過剰近似を許容する場合でも、最適ラベル分割問題がNP完全のままであることを確立すること。
• NPハード性を示すために、部分和問題から形式的還元を提供すること。

提案手法

• 部分和問題に基づくコア構造と補助ストランドを含む、6つの構造的要素を持つ一般的なLTSを構築する。
• マークイングの変化（領域値）を用いて領域ベースの制約を定義し、到達可能性グラフにおける状態分離問題（SSP）の可解性をモデル化する。
• 部分和問題からの多項式時間還元を用いてNPハード性を証明し、SSPの可解性が有効な部分和解に対応することを示す。
• 任意の有効なラベル分割で、q = 2n + k + 11個以下のラベルが使用される場合、各γiペアから正確に1つのラベルを再ラベルする必要があることを示す。これは部分和制約を模倣する。
• すべての状態分離問題（SSP）の可解性を検証することで、候補となるラベル分割が多項式時間で検証可能であることを示し、NPに属することを証明する。
• 領域理論を活用して、到達可能性グラフの埋め込みが存在することと、すべての状態分離問題（SSP）が可解であることの同値性を形式的に定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LTSをペトリ・ネットの到達可能性グラフに埋め込むために、最小のラベル数を達成するラベル分割を求める問題は、計算的に困難であるか？
• RQ2 ラベル分割におけるラベル数の制限が、埋め込み問題の複雑性を多項式時間からNP完全に引き上げるか？
• RQ3 部分和問題を最適ラベル分割問題に還元でき、NPハード性を確立できるか？
• RQ4 正確な同型写像ではなく、埋め込みによる過剰近似を許容する場合でも、NP完全性の結果が保たれるか？
• RQ5 同じ還元技術を、ラベル分割ではなくエッジの削除などの他の変種に適応することで、同様の複雑さの結果を得られるか？

主な発見

• LTSをペトリ・ネットの到達可能性グラフに埋め込む際に、ラベル数を最小化する最適なラベル分割を求める問題はNP完全である。
• 埋め込みに過剰近似を許容しても、ラベル数の最小化を課すと問題はNP完全のままであり、根本的な複雑さの障壁があることが示された。
• q = 2n + k + 11個のラベルを正確に使用する有効なラベル分割では、各γiペアから正確に1つのラベルを再ラベルする必要があり、これは元の部分和問題の解に対応する。
• 部分和問題からラベル分割問題への還元は多項式時間で行われるため、NPハード性が確認された。
• 構成により、LTSにおけるすべての状態分離問題（SSP）の可解性と、到達可能性グラフへの埋め込みの存在が同値であることが保証された。
• この結果から、正確な合成（到達可能性グラフへの同型写像）が埋め込みよりも容易である可能性は低いが、これはまだ証明のない予想のままである。