[論文レビュー] Optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ via cyclic codes

Yuan Luo, Chaoping Xing+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2018

Advanced Data Storage Technologies参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特定の生成多項式およびパリティーチェック多項式を備えた巧みな巡回符号を用いて、有限体上での最小距離 3 および 4 の最適局所修理可能符号（LRC）を構築する。主な貢献は、アルファベットサイズ $ q $ に依存しない無限長の $ q $-元最適 LRC の最初の族を、それぞれ局所性 $ r \geq 2 $ および $ r \geq 3 $ に対してシングルトン型の不等式を満たす形で構成したことである。

ABSTRACT

Like classical block codes, a locally repairable code also obeys the Singleton-type bound (we call a locally repairable code {\it optimal} if it achieves the Singleton-type bound). In the breakthrough work of \cite{TB14}, several classes of optimal locally repairable codes were constructed via subcodes of Reed-Solomon codes. Thus, the lengths of the codes given in \cite{TB14} are upper bounded by the code alphabet size $q$. Recently, it was proved through extension of construction in \cite{TB14} that length of $q$-ary optimal locally repairable codes can be $q+1$ in \cite{JMX17}. Surprisingly, \cite{BHHMV16} presented a few examples of $q$-ary optimal locally repairable codes of small distance and locality with code length achieving roughly $q^2$. Very recently, it was further shown in \cite{LMX17} that there exist $q$-ary optimal locally repairable codes with length bigger than $q+1$ and distance propositional to $n$. Thus, it becomes an interesting and challenging problem to construct new families of $q$-ary optimal locally repairable codes of length bigger than $q+1$. In this paper, we construct a class of optimal locally repairable codes of distance $3$ and $4$ with unbounded length (i.e., length of the codes is independent of the code alphabet size). Our technique is through cyclic codes with particular generator and parity-check polynomials that are carefully chosen.

研究の動機と目的

• コード長が $ q+1 $ を超える $ q $-元最適局所修理可能符号（LRC）を構築し、従来の長さ制限を克服すること。
• 最小距離 $ d \geq 3 $ を一定に保ちながら、アルファベットサイズに依存しない無限長の最適 $ q $-元 LRC が存在するかという未解決問題に取り組むこと。
• 最適距離および局所性を達成するため、特徴的な生成多項式を備えた巡回符号を用いた体系的な手法を開発すること。
• 代数的数論および多項式の根の性質を用いて、特に $ d=3 $ および $ d=4 $ の場合に、$ q+1 $ の長さの壁を超えて既知の構成を拡張すること。
• このような最適 LRC が存在し、かつ巡回的であるための $ n $, $ r $, および $ q $ に関する明示的な十分条件を提供すること。

提案手法

• 生成多項式 $ g(x) $ が $ x^{n/(r+1)} - \alpha $ の根を含むように、$ \alpha $ を原始 $ (r+1) $ 乗根とする $ q $-元巡回符号を構築する。
• 必要となる根が $ \mathbb{F}_q $ 内に存在することを保証するため、$ \gcd(n, q) = 1 $, $ \gcd(n, q-1) \equiv 0 \pmod{r+1} $ を課し、$ d=4 $ の場合に $ \gcd(n/(r+1), r+1) \mid 2 $ を追加する。
• 双対符号の最小距離が $ r+1 $ 以下であるという事実を用い、双対距離の下界により局所性 $ r $ の性質を保証する。
• 矛盾による証明として、$ \overline{\mathbb{F}}_q $ 上での行列式の恒等式および根の重複度の解析を用い、最小距離 $ d \geq 3 $ または $ d \geq 4 $ を示す。
• 符号がシングルトン型の不等式 $ d \leq n - k - \lceil k/r \rceil + 2 $ を等号で満たすことを検証し、最適性を確認する。
• 特別な場合として、長さ $ 2(q-1) $、距離 4 の $ q $-元最適 LRC を、生成多項式 $ g(x) = (x-1)(x-\beta^2)(x^{n/(r+1)} - \alpha) $ を用いて構築する。ここで $ \beta $ は原始 $ n $ 乗根である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小距離 3 および 4 の場合に、$ q+1 $ を超える長さの最適 $ q $-元局所修理可能符号を構築することは可能か？
• RQ2 最小距離を一定に保ちながら、アルファベットサイズ $ q $ に依存しない無限長の最適 $ q $-元 LRC を構築することは可能か？
• RQ3 $ n $, $ r $, および $ q $ にどのような代数的条件を課すと、距離 3 および 4 の最適巡回 LRC が存在するか？
• RQ4 特定の生成多項式を備えた巡回符号をどのように設計すれば、最適距離、局所性、および無限長を同時に達成できるか？
• RQ5 構成を拡張して、最小距離が長さ $ n $ に比例し、長さが $ \Omega(q^2) $ に達する符号を生成することは可能か？（未解決問題として提示。）

主な発見

• 本稿では、$ \gcd(n, q) = 1 $ および $ \gcd(n, q-1) \equiv 0 \pmod{r+1} $ を満たす限り、局所性 $ r \geq 2 $ の $ q $-元最適 $[n, k = n - (1 + n/(r+1)), 3]$ 巡回局所修理可能符号の族を構築する。
• 距離 4 の場合、追加条件 $ \gcd(n/(r+1), r+1) \mid 2 $ を満たす限り、局所性 $ r \geq 3 $ の $ q $-元最適 $[n, k = n - (2 + n/(r+1)), 4]$ 巡回 LRC を構築する。
• コード長 $ n $ は無限長であり、アルファベットサイズ $ q $ に依存しない。これは、従来の構成における主要な制限を解消した。
• 最小距離が 3 以上または 4 以上であることは、行列式の恒等式および根の重複度の議論を用いた矛盾による証明により、保証される。
• 構築された巡回符号の双対符号の最小距離は $ r+1 $ 以下であるため、局所性 $ r $ の性質が保証される。
• 特別な構成により、$ r+1 \mid 2(q-1) $ のとき、長さ $ 2(q-1) $、距離 4 の $ q $-元最適 LRC が、$ \beta^2 \in \mathbb{F}_q $ を含む三つの異なる根をもつ生成多項式を用いて構築可能である。