[論文レビュー] Optimal location of resources maximizing the total population size in logistic models

Idriss Mazari, Grégoire Nadin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 35被引用数 40

ひとこと要約

本論文は、異種環境下の定常ロジスティック-拡散モデルにおける総人口を最大化するための空間資源分配を研究し、拡散が大きい場合のbang-bang最適性を証明するとともに、集中/断片化の挙動を詳述している。1次元における正確な結果も提示する。

ABSTRACT

In this article, we consider a species whose population density solves the steady diffusive logistic equation in a heterogeneous environment modeled with the help of a spatially non constant coefficient standing for a resources distribution. We address the issue of maximizing the total population size with respect to the resources distribution, considering some uniform pointwise bounds as well as prescribing the total amount of resources. By assuming the diffusion rate of the species large enough, we prove that any optimal configuration is bang-bang (in other words an extreme point of the admissible set) meaning that this problem can be recast as a shape optimization problem, the unknown domain standing for the resources location. In the one-dimensional case, this problem is deeply analyzed, and for large diffusion rates, all optimal configurations are exhibited. This study is completed by several numerical simulations in the one dimensional case.

研究の動機と目的

• 空間的資源分布 m(x) が定常拡散ロジスティックモデルの総人口サイズに与える影響を調べる。
• 大きな拡散の下で最適な資源分布がbang-bang（極端な0またはkappa）であるかを判定する。
• 拡散が変化する際の最適資源分布の集中と断片化の現象を分析する。
• 有界資源クラスにおける最大化解の存在性と定性的性質を確立する。
• 1D設定に特化して、拡散が大きい場合の明示的な最大化解を得る。

提案手法

• Neumann境界条件を持つ定常ロジスティック-拡散方程式 mu Δ θ + (m - θ) θ = 0 によって個体群をモデル化する。
• 総人口汎関数 F_mu(m) を Ω 上の θ の平均として定義し、これを M_{m0,kappa}(Ω) 上で最大化する。
• 随伴状態 p_{m,mu) を用いた一階最適性条件を用いて定常性と飽和特性 (φ_{m,mu} = θ p) を導く。
• 拡散 mu に対する θ_{m,mu) の新規漸近展開を展開し、mu が大きいときの F_mu の凸性を証明して bang-bang 最大化解を得る。
• 再配置不等式とGamma収束（特にエネルギー様極限問題への収束）を用いて大きな mu に対する集中の挙動を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡散が大きいとき、総人口サイズを最大化する最適資源分布 m* は bang-bang であるか、また m* は必ず bang-bang であるか。
• RQ2 拡散が大きいとき、最適資源分布の空間的な集中または断片化にどのような影響が現れるか。
• RQ3 1次元において、拡散が大きい場合の明示的最大化解を特徴付けられるか、最大化解は何個存在するか。
• RQ4 拡散が小さいとき断片化は集中より有利か、均質固有値最適化の結果とどのように対比されるか。
• RQ5 μ → ∞ によるGamma収束の観点で、総人口サイズの最大化解と関連する極限問題との関係はどうなるか。

主な発見

• 拡散 mu が大きい場合、総人口汎関数 F_mu は厳密に凸となり、任意の最大化解はbang-bang（ほぼ everywhere 0 または κ をとる）となる。
• 最大化解 m* は Ω の固定測度を持つ部分集合 E に対応し、問題の形状最適化への書換えを可能にする。
• Gamma収束の結果、mu → ∞ のとき最大化解の L1-閉包点は極限エネルギー最小化問題を解く。極限は2Dの正方体状の集中を有利にする。
• 1Dにおいて、十分大きい mu のとき最大化解は2つの階段関数のいずれかに還元される：m = kappa が (1-l,1) 上、またはその鏡像。
• 拡散 mu が小さいときは断片化が単純な集中よりも優れることがあり、二峰性の資源分布が単一区間の資源よりも総人口を多く得ることがある。
• これらの結果は大きな拡散条件下ではbang-bang最適性が成り立つ一方、低拡散領域では断片化が可能であり、2Dの正方体状領域では大規模拡散領域で集中が観察されることを示唆する。）
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