[論文レビュー] Optimal management and spatial patterns in a distributed shallow lake model

Dieter Graß, Hannes Uecker|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Ecosystem dynamics and resilience参考文献 42被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、Pontryaginの最大原理を用いて空間的に分布した浅い湖モデルにおける最適制御を研究するための数値フレームワークを提示する。pde2pathとTOMを組み合わせた手法により、平坦でパターン化された定常状態を同定し、時間に依存する経路を通じて安定性と最適性を分析した。その結果、パターン化された状態は最適でないものの、拡散誘発不安定性を伴う生態経済系における複雑なダイナミクスおよび直感に反する最適制御戦略の理解に重要な役割を果たすことが明らかになった。

ABSTRACT

We present a numerical framework to treat infinite time horizon spatially distributed optimal control problems via the associated canonical system derived by Pontryagin's Maximum Principle. The basic idea is to consider the canonical system in two steps. First we perform a bifurcation analysis of canonical steady states using the continuation and bifurcation package pde2path, yielding a number of so called flat and patterned canonical steady states. In a second step we link pde2path to the two point boundary value problem solver TOM to study time dependent canonical paths to steady states having the so called saddle point property. As an example we consider a shallow lake model with diffusion.

研究の動機と目的

• Pontryaginの最大原理から導かれる正準系を用いて、拡散を伴う無限時間枠組みの空間的最適制御問題を解く数値手法の開発。
• 分布型浅い湖モデルにおける最適拡散誘発不安定性（ODI）によって生じるパターン化された定常状態の出現を調査すること。
• サドル点の性質を持つ時間に依存する接続軌道を計算・評価することにより、どの正準定常状態が最適であるかを特定すること。
• 局所的安定性を越えて、目的関数値の比較を通じて最適性を評価するための正準定常状態のグローバル解析を実施すること。
• 有名な浅い湖モデルを用いて本手法を実証し、複数の定常状態が存在する状況下での直感に反する最適制御ダイナミクスを明らかにすること。

提案手法

• 浅い湖モデルからPontryaginの最大原理を用いて正準系を導出し、状態変数および共役変数の偏微分方程式系（PDE）を得た。
• pde2path（有限要素離散化に基づく継続・分岐解析パッケージ）を用いて正準定常状態の分岐解析を実施した。
• 平坦な正準定常状態（FCSS）とパターン化された正準定常状態（PCSS）を計算し、安定性およびサドル点の性質について分析した。
• 時間に依存する正準経路は、2点境界値問題ソルバTOMを用いて計算し、目的関数値$J$による最適性の評価を実施した。
• pde2pathとTOMを統合したフレームワークにより、定常状態の分岐解析と動的経路計算を結びつけ、グローバル最適性の評価を可能にした。
• 本手法は1次元浅い湖モデルにおいて妥当性を検証・可視化したほか、2次元への拡張も短い展望として提示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分布型浅い湖モデルにおけるどの正準定常状態が最適であり、目的関数値$J$においてどのように比較されるか？
• RQ2 パターン化された正準定常状態は、最適拡散誘発不安定性（ODI）によってどのように出現するのか。また、最適制御の地形において果たす役割は何か？
• RQ3 正準定常状態間の接続軌道の構造的および動的特性は何か。また、サドル点の性質とどのように関係しているか？
• RQ4 複数の定常状態が存在する場合、解のグローバル最適性にどのような影響を与えるか。また、なぜ局所的安定性解析では不十分なのか？
• RQ5 空間的に分布する最適制御問題において、時間に依存する最適経路の計算と評価を可能にする数値的戦略は何か？

主な発見

• パターン化された正準定常状態（PCSS）は、浅い湖モデルにおいて最適拡散誘発不安定性（ODI）によって出現し、正準系におけるチューリング的分岐を示している。
• 不安定で非最適であるにもかかわらず、PCSSは最適制御の地形を形作る上で顕著な役割を果たしており、複雑なダイナミクスを明らかにする。
• 平坦な正準定常状態（FCSS）は、特定のパrameter領域において最適であり、目的関数値$J$がPCSSよりも高いことが判明した。
• TOMを用いて計算された時間に依存する正準経路は、最適でない非単調な軌道が最適定常状態に到達するという、直感に反する最適制御戦略を示した。
• 離散化されたレベルで、ヤコビ行列の固有値解析を用いてサドル点の性質を数値的に検証した。条件$\|\operatorname{Re}\xi - r/2\| > r/2$は、潜在的な最適定常状態を示す重要な指標であった。
• 本フレームワークは、グローバル解析（分岐図と動的経路計算の統合）が、最適解を特定する上で不可欠であることを示した。局所的安定性の解析だけでは不十分である。