[論文レビュー] Optimal minimax bounds for time and ensemble averages for the incompressible Navier-Stokes equations

Ricardo Rosa, Roger Témam|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2020

Navier-Stokes equation solutions被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、双対性に基づく最適化フレームワークを用いて、2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解の時間平均およびアンサンブル平均に対する最適ミニマックス境界を確立する。有限次元のミニマックス結果を無限次元の散逸系に拡張し、シリンダ型テスト関数型とシステムの法則との双対性を用いて鋭い上界を定式化することで、解の明示的知識を必要とせずに最適性を達成する。

ABSTRACT

Obtaining sharp estimates for quantities involved in a given model is an integral part of the modeling process. For dynamical systems whose orbits display a complicated, perhaps chaotic, behaviour, the aim is usually to estimate time or ensemble averages of given quantities. This is the case, for instance, in turbulent flows. In this work, the aim is to present a minimax optimization formula that yields optimal bounds for time and/or ensemble averages for the two- and three-dimensional Navier-Stokes equations. The results presented here are extensions to the infinite-dimensional setting of a recent result on the finite-dimensional case given by Tobasco, Goluskin, and Doering in 2017. The optimal result occurs in the form of a minimax optimization problem and does not require knowledge of the solutions, only the law of the system. The minimax optimization problem appears in the form of a maximization over a portion of the phase space of the system and a minimization over a family of auxiliary functions made of cylindrical test functionals defined on the phase space. The function to be optimized is the desired quantity plus the duality product between the law of the system and the derivative of the auxiliary function.

研究の動機と目的

• 非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における量の時間平均およびアンサンブル平均に対する鋭い、最適な上界を導出すること。
• Tobascoら（2017年）の有限次元ミニマックス境界を、ヒルバート空間 H における無限次元のナビエ＝ストークス方程式の設定に拡張すること。
• 補助的シリンダ型関数型との双対性を用いて、解の明示的知識に依存せず、システムの法則のみに依存する境界を定式化すること。
• 弱定常統計的解と不変測度を含むミニマックス定式化を通じて、境界の最適性を確立すること。
• 双対性および弱位相構造の枠組みを用いて、乱流の流れの量に対する計算的に取り扱いやすい推定値を提供すること。

提案手法

• 最適境界をミニマックス問題として定式化：Ψ に関する下界（inf）と、K 内の位相空間点 u に関する上界（sup）の組み合わせ。
• システムの法則と Ψ の微分との双対積を用いて目的関数を構築する。
• Sion のミニマックス定理を適用して sup と inf の順序を入れ替え、境界の最適性を証明する。
• ヒルバート空間 H 内のコンパクト集合上での弱定常統計的解（wsss）および Foias-Prodi 解の枠組みで作業する。
• ヒルバート空間 H における有界集合の弱位相におけるコンパクト性と、Leray-Hopf の弱解に対して存在する吸引球の存在に依存する。
• 双対空間 W′ 内のシリンダ型テスト関数型を用いることで、無限次元における微分可能性と双対性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、時間平均およびアンサンブル平均の最適ミニマックス境界を導出可能か？
• RQ2 有限次元から得られたミニマックス定式化は、ナビエ＝ストークス方程式の無限次元設定へ拡張可能か？
• RQ3 解の明示的知識を一切得ずに、システムの統計的法則のみに依存して鋭い上界を得られるか？
• RQ4 弱定常統計的解と不変測度は、最適境界を達成するために果たす役割は何か？
• RQ5 コンパクトな吸引集合を有する状況下で、Leray-Hopf の弱解に対する境界はどのように振る舞うか？

主な発見

• 時間平均の最適境界は、コンパクト集合 K 上で φ(u) + ⟨F(u), Ψ′(u)⟩ の最大値の下界（inf）として与えられる。
• ミニマックス恒等式が成立：初期条件に関する上界（limsup）時間平均の上界が、inf-sup 表現と一致し、最適性が証明される。
• この結果は、ヒルバート空間 H における2次元および3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に有効である。
• フレームワークは、弱定常統計的解および Foias-Prodi 解に対しても適用可能であり、完全な正則性がなくても成立する。
• Leray-Hopf の弱解に対しては、十分に大きな吸引球 BR ⊂ H に制限した場合に境界は有効である。
• 双対性を用いることで、直接的な解計算を避けて、計算的に取り扱いやすい推定値が得られる。