[論文レビュー] Optimal Point Sets for Total Degree Polynomial Interpolation in Moderate Dimensions

Max Gunzburger, Aretha L. Teckentrup|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、中程度の次元（10次元まで）における全次数多項式近似の最適な補間点を計算するための新規アルゴリズムを提示する。この手法はバーデルモンデ行列の計算を必要とせず、Lebesgue定数を最小化する。結果として、これまでに得られた中で最小のLebesgue定数が得られ、次元および次数に対して非線形的成長を示すことが判明。また、単位立方体および単位球において、点の配置が領域の境界付近に集中していることも明らかになった。

ABSTRACT

This paper is concerned with Lagrange interpolation by total degree polynomials in moderate dimensions. In particular, we are interested in characterising the optimal choice of points for the interpolation problem, where we define the optimal interpolation points as those which minimise the Lebesgue constant. We give a novel algorithm for numerically computing the location of the optimal points, which is independent of the shape of the domain and does not require computations with Vandermonde matrices. We perform a numerical study of the growth of the minimal Lebesgue constant with respect to the degree of the polynomials and the dimension, and report the lowest values known as yet of the Lebesgue constant in the unit cube and the unit ball in up to 10 dimensions.

研究の動機と目的

• 中程度の次元における全次数多項式補間のLebesgue定数を最小化する補間点集合を特定すること。
• ドメイン幾何の依存性がなく、明示的なバーデルモンデ行列計算を必要としない数値的アルゴリズムの開発。
• 単位立方体および単位球において、10次元までにわたる多項式補間の最小Lebesgue定数の、これまでに得られた中で最小の値を計算・報告すること。
• 最適点集合の構造的性質、特にドメイン境界付近への集中の分析。
• 理論的予想と整合的な、次数および次元に伴うLebesgue定数の経験的成長率の提供。

提案手法

• バーデルモンデ行列式や連立一次方程式の解法を一切行わず、大規模非線形最適化問題としてLebesgue定数を数値的に最小化する。
• 信頼領域法を用いて、Lebesgue定数が補間点の関数として滑らかであることに基づき、反復的に点配置を改善する。
• ドメインに依存しない手法であり、単位立方体や単位球を含む任意のコンactドメインに適用可能。
• ラグランジュ基底多項式の絶対値の和の最大値として、Lebesgue定数の基底に依存しない定式化を採用。
• バーデルモンデ行列を明示的に構築しないことで、高次多項式基底に起因する数値的悪条件問題を回避。
• 初期点配置は対称的かつ均等に分布するように選択し、局所的最適解に陥るのを防ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中程度の次元における全次数多項式補間のLebesgue定数を最小化する補間点の最適配置は何か？
• RQ2 最小Lebesgue定数は、多項式次数および空間次元が増加するにつれてどのように増加するか？
• RQ3 最適点集合はどのような構造的性質を示すか、特にドメイン幾何や対称性とどのように関係するか？
• RQ4 バーデルモンデ行列の計算に依存しない数値的アルゴリズムを設計可能か？
• RQ5 計算されたLebesgue定数は、文献に報告された既存の値と比較してどのように異なるか？

主な発見

• 単位球および単位立方体における計算されたLebesgue定数は、これまでに得られた中で最小の値であり、特に次数n ≥ 5の領域で顕著な改善が得られた。
• d=2の場合、最小Lebesgue定数は√(n+1)にほぼ比例して増加するが、d=3ではnに対して線形に増加し、理論的期待と整合的である。
• 最適点集合はドメイン境界付近に高い密度を示し、反射および回転対称性を有しており、強い幾何的構造が示唆される。
• d=2およびd=3の点集合は、それぞれ同心円および同心球に近い分布を示す傾向があるが、正確にはガウス＝レジェンドル＝ロバッチ点とは一致しない。
• アルゴリズムはバーデルモンデ行列に起因する数値的問題を効果的に回避し、10次元までスケーリング可能である。
• Brianiらの先行研究と比較したところ、全テスト次数において一貫したかつ顕著なLebesgue定数の低減が確認された。