[論文レビュー] Optimal Portfolio under Fractional Stochastic Environment

Jean‐Pierre Fouque, Ruimeng Hu|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 20, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ゆっくり変化する分数オーナイズ・ウーレンバック過程によって駆動される非マルコフ型分数確率的環境において、漸近的に最適なポートフォリオ戦略を開発する。パワーユーティリティ関数に対してマルティンググール変換を用い、最適価値関数の1次近似を導出し、すべての $ H \in (0,1) $ に対して固定された0次戦略が漸近的に最適であることを示す。補正項のオーダーは $ \delta^H $ である。

ABSTRACT

Rough stochastic volatility models have attracted a lot of attentions recently, in particular for the linear option pricing problem. In this paper, starting with power utilities, we propose to use a martingale distortion representation of the optimal value function for the nonlinear asset allocation problem in a (non-Markovian) fractional stochastic environment (for all Hurst index $H \in (0,1)$). We rigorously establish a first order approximation of the optimal value, where the return and volatility of the underlying asset are functions of a stationary slowly varying fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We prove that this approximation can be also generated by a fixed zeroth order trading strategy providing an explicit strategy which is asymptotically optimal in all admissible controls. Furthermore, we extend the discussion to general utility functions, and obtain the asymptotic optimality of this fixed strategy in a specific family of admissible strategies.

研究の動機と目的

• ゆっくり変化するボラティリティを有する非マルコフ型分数確率的環境下での非線形最適ポートフォリオ問題に対処すること。
• ハースト指数 $ H \in (0,1) $ を有する粗い分数確率的ボラティリティ（RFSV）モデルを含む、メルトンのポートフォリオ最適化フレームワークの拡張。
• ボラティリティ要因がゆっくり変化する（$ \delta $ が小さい）場合の価値関数および最適戦略の厳密な漸近的近似を確立すること。
• パワーユーティリティ関数の場合に、固定された0次戦略が漸近的に最適であることを示すこと。
• 同じ固定戦略フレームワークを用いて、一般ユーティリティ関数の特定のクラスへの漸近的最適性結果の一般化。

提案手法

• パワーユーティリティ関数の最適価値関数を、分数確率的環境下でマルティンググール変換表現を用いて表現する。
• 初期値 $ Z^{\delta,H}_0 $ における凍結ボラティリティの周囲でマルティンググール変換を展開し、$ \delta^H $ の1次補正を得る。
• ゆっくり変化する確率的要因を、ハースト指数 $ H \in (0,1) $ を持つ分数オーナイズ・ウーレンバック（fOU）過程としてモデル化し、分数 Browm 動的過程によって駆動する。
• 非マルコフ型ダイナミクスを扱い、漸近的近似を導出するためにイプシロン・マルティンググール分解法を適用する。
• 高速要因と遅い要因の間の時間スケール分離を表す小パラメータ $ \delta $ を用いた摂動アプローチを用いる。
• 成長性および可積分性に関する仮定により、主要な項の一様有界性を確立し、漸近展開の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゆっくり変化するボラティリティを有する非マルコフ型分数確率的環境下で、固定された0次戦略が漸近的に最適であるか。
• RQ2 ボラティリティが $ H \in (0,1) $ を持つ分数オーナイズ・ウーレンバック過程によって駆動されるパワーユーティリティ関数下での最適価値関数の振る舞いはいかなるものか。
• RQ3 小 $ \delta $ の状態下で、最適価値関数の1次補正項のオーダーはどの程度か。
• RQ4 一般ユーティリティ関数に対して、価値関数の漸近的近似が有効である条件は何か。
• RQ5 ハースト指数 $ H $ は、漸近的戦略の収束速度にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 最適価値関数は $ \delta^H $ の1次近似を有し、主項はマルティンググール変換表現によって導出される。
• 1次補正項のオーダーは $ \delta^H $ であり、与えられた仮定のもとで一様有界である。
• パワーユーティリティ関数の場合、固定された0次戦略は漸近的に最適であり、真の最適戦略と同一の1次性能を達成する。
• 一般ユーティリティ関数の場合、適切な有界性条件のもとで、同じ固定戦略は特定の許容戦略族内において漸近的に最適である。
• 価値関数の近似誤差は $ \delta^{H \wedge \alpha} $ のオーダーであり、$ \alpha $ はボラティリティ過程の可積分性に関連する。
• 非マルコフ型設定においてイプシロン・マルティンググール分解の正当化を厳密に行い、オプション価格設定のような線形問題を超えてその適用範囲を拡張した。