[論文レビュー] Optimal preconditioning for problems of negative order

Rob Stevenson, Raymond van Venetië|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連続的区分線形関数で離散化された、逆が有界である反対順序の作用素を用いて、負の順序作用素の最適な前処理行列を構築する。この手法は、メッシュセル数に比例する線形スケーラビリティを保証し、非対角行列の逆行列を必要とせず、メッシュのグレーディングや重心型細分化の要件がないため、高次離散化における不連続および連続ガラーキン法に対して、強固で効率的なソリューションを提供する。

ABSTRACT

Optimal preconditioners for operators of negative order discretized by (dis)continuous piecewise polynomials of any order are constructed from a boundedly invertible operator of opposite order discretized by continuous piecewise linears. Besides the cost of the application of the latter discretized operator, the other cost of the preconditioner scales linearly with the number of mesh cells. Compared to earlier proposals, the preconditioner has the following advantages: It does not require the inverse of a non-diagonal matrix; it applies without any mildly grading assumption on the mesh; and it does not require a barycentric refinement of the mesh underlying the trial space.

研究の動機と目的

• 有限要素離散化の文脈において、最適な前処理行列を負の順序作用素に適用するための開発。
• 計算コストが高くなる可能性がある非対角行列の逆行列を求める必要を排除すること。
• メッシュのグレーディングや試行関数空間メッシュの重心型細分化を要件としない、強固な性能を確保すること。
• メッシュセル数に比例する線形スケーリングを達成すること。
• 任意の次数の区分的多項式離散化において、不連続および連続の両方の方法で、効率的かつ安定した性能を維持すること。

提案手法

• 前処理行列は、反対順序の有界に可逆な作用素から構築され、特に連続的区分線形関数が用いられる。
• 反対順序作用素の離散化は、良好な条件数と逆行列の容易さを考慮して選ばれる。
• 変分定式化における正の順序と負の順序作用素の双対性を通じて、前処理行列は最適性を継承する。
• 前処理行列の適用コストが、メッシュセル数に比例して増加することを保証する。
• メッシュ依存の仮定（例：緩やかなグレーディングや重心型細分化）に依存しない。
• 本手法は一般性を有し、任意の多項式次数の不連続および連続ガラーキン法に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対角行列の逆行列を必要とせずに、負の順序作用素の最適な前処理行列を構築できるか？
• RQ2 やや緩いグレーディングを持つメッシュを仮定しない場合でも、前処理行列は有効に機能するか？
• RQ3 試行関数空間メッシュの重心型細分化を回避できるか？
• RQ4 前処理行列の計算コストは、メッシュセル数にどのように依存するか？
• RQ5 任意の次数の区分的多項式離散化において、不連続および連続の両方の方法で前処理行列は強健に機能するか？

主な発見

• 提案された前処理行列は、非対角行列の逆行列を必要とせず、負の順序問題において最適収束速度を達成する。
• メッシュのグレーディング仮定なしに、非構造的メッシュ上でも手法は有効に機能する。
• 前処理行列の適用に要する計算コストは、メッシュセル数に比例して増加する。
• 本手法は、任意の多項式次数の不連続および連続ガラーキン離散化に適用可能である。
• 前処理行列は、メッシュの重心型細分化を必要とせず、実装を簡素化し、オーバーヘッドを低減する。
• 構築は、反対順序の有界に可逆な作用素に依存しており、安定性と最適性を保証する。