[論文レビュー] Optimal quantum control with digitized Quantum Annealing

Glen Bigan Mbeng, Rosario Fazio+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、スペクトルギャップの事前知識がなくても、理論的残余エネルギー境界に到達する正規で反復的なスケジュールを構築することにより、デジタル化量子アンケージング（dQA）が最適な量子制御を達成できることを示している。この手法により、標準的QAに対する2次的速度向上が達成され、残余エネルギーのスケーリングが $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1}$ となる。また、変分最適化によって最適QAOA解と同等であることが示され、ハイブリッド量子古典アルゴリズムと断続的プロトコルの間の接続が確立される。

ABSTRACT

We show how a digitized version of Quantum Annealing can be made optimal, realizing the best possible solution allowed by quantum mechanics in the shortest time, without any prior knowledge on the location and properties of the spectral gap. Our findings elucidate the intimate relation between digitized-QA, optimal Quantum Control, and recently proposed hybrid quantum-classical variational algorithms for quantum-state preparation and optimization. We illustrate this on the simple benchmark problem of an unfrustrated antiferromagnetic Ising chain in a transverse field.

研究の動機と目的

• デジタル化量子アンケージング（dQA）とスペクトルギャップの情報が不要な最適な量子制御との間の関係を確立すること。
• 正規で反復的なdQAスケジュールが、量子最適化において理論的に最適な残余エネルギー境界に到達できることを実証すること。
• 最適なdQA解が、変分QAOA最適化から自然に出現することを示し、ハイブリッド量子古典アルゴリズムと断続的プロトコルを結びつけること。
• 古典的最適化の地形が険しくても縮退していても、最適なdQAスケジュールを効率的に構築できるかを調査すること。
• 翻訳不変系にとどまらず、不規則なまたは複雑なハミルトニアンを含む一般性について検討すること。

提案手法

• 著者らは、連続時間の断続的発展を離散ユニタリゲートの系列に離散化することにより、デジタル化量子アンケージング（dQA）プロトコルを構築し、QAOA回路構造に類似した構造とする。
• QAOAアーンサツ $|\psi_P(\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\beta})\rangle = \prod_{k=1}^P e^{-i\beta_k \widehat{H}_x} e^{-i\gamma_k \widehat{H}_{\mathrm{target}}} |\psi_0\rangle$ に対して変分最適化を適用し、最適パラメータ $\boldsymbol{\gamma}^\mathrm{opt}, \boldsymbol{\beta}^\mathrm{opt}$ を探索する。
• 重要な洞察として、QAOAエネルギーの $2^P$ 個の縮退した変分的最小値の中には、$P$ に対して反復的に構築可能な特別な正規解が存在し、これが最適スケジュールをもたらすことが判明した。
• 最適なdQAスケジュールは、ポントレヤーギンの最大原理が予測する「バンブ・バンブ」制御形式から導出され、最小の進化時間と最大の忠実度を保証する。
• トランスバース場イジングスピン鎖に対して妥当性が確認され、残余エネルギー $\epsilon^{\mathrm{res}}$ は解析的に $\epsilon^{\mathrm{res}} = (2P + 2)^{-1}$ と境界づけられ、数値的に $\tau^{-1}$ のスケーリングに従うことが示された。
• 非ゼロのトランスバース場および異方的XYモデルへもプロトコルが拡張され、臨界点付近での自己適応性とロバストネスが示され、スペクトル情報が事前に与えられていない状況でも成立することが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルギャップの事前知識がなくても、理論的残余エネルギー境界に到達するデジタル化量子アンケージングプロトコルを構築可能か？
• RQ2 QAOAアーンサツの変分最適化が、理論的エネルギー境界に到達する正規で反復的なdQAスケジュールをどのように導くか？
• RQ3 最適なdQAスケジュールを求める計算コストは何か？ また、ランダム初期化と比較して収束速度にどのような差があるか？
• RQ4 最適なdQA解は、翻訳不変系にとどまらず、不規則なまたはフラストレーションを有するスピンモデルなどに一般化可能か？
• RQ5 変分エネルギー地形の構造が、縮退や不規則性の存在下で、グローバル最適解を効率的に見つける効率性にどのように影響するか？

主な発見

• 最適なdQAスケジュールは、残余エネルギーのスケーリング $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1}$ を達成し、標準的Kibble-Zurekスケーリング $\epsilon^{\mathrm{res}} \sim \tau^{-1/2}$ に対して2次的速度向上を示す。
• QAOAアーンサツの $2^P$ 個の縮退した変分的最小値の中には、$P$ に対して反復的に構築可能な一意の正規解が存在し、これが最適プロトコルをもたらす。
• 最適なdQAスケジュールは、ポントレヤーギンの原理が予測する「バンブ・バンブ」制御形式から導出され、最小の進化時間と最大の忠実度を保証する。
• 再帰的初期化を用いる場合、$\epsilon^{\mathrm{res}} \sim t_{\mathrm{cc}}^{-2/3}$ を達成し、ランダム初期化（$\epsilon^{\mathrm{res}} \sim t_{\mathrm{cc}}^{-1/3}$）を上回り、Kibble-Zurekスケーリングをも凌駕する。
• トランスバース場イジング模型における臨界点 $s_c = 2/(1-h)$ 付近で、スペクトル情報が事前に与えられていなくても、最適なdQAスケジュールが自動的に平坦化することが確認された。
• 一般な異方的XYモデルに対しても有効であり、不規則性に対してもロバストであるが、この場合では縮退が破れ、最適化地形が険しくなる。