[論文レビュー] Optimal Quantum Spatial Search with One-Dimensional Long-Range Interactions

Dylan Lewis, Asmae Benhemou+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用数 15

ひとこと要約

本論文は、1/r^α に比例して減衰する長距離相互作用を有する1次元スピン鎖において、最適な量子空間探索—O(√n)の実行時間とほぼ1に近い忠実度—が達成可能であることを示している。このような鎖における連続時間量子ウォークの分析を通じて、著者らは解析的にかつ数値的に、α < 1.5 に対して最適な探索が存在することを証明した。さらに、α ≲ 1.2 ではほぼ完全な忠実度が達成可能であり、位相破壊ノイズに対しても頑健であることが示され、イオントラップなどの実験的システムでの実現が可能である。

ABSTRACT

Continuous-time quantum walks can be used to solve the spatial search problem, which is an essential component for many quantum algorithms that run quadratically faster than their classical counterpart, in O(n) time for n entries. However, the capability of models found in nature is largely unexplored - e.g., in one dimension only nearest-neighbor Hamiltonians have been considered so far, for which the quadratic speedup does not exist. Here, we prove that optimal spatial search, namely with O(n) run time and high fidelity, is possible in one-dimensional spin chains with long-range interactions that decay as 1/rα with distance r. In particular, near unit fidelity is achieved for α≈1 and, in the limit n→∞, we find a continuous transition from a region where optimal spatial search does exist (α<1.5) to where it does not (α>1.5). Numerically, we show that spatial search is robust to dephasing noise and that, for reasonable chain lengths, α≲1.2 should be sufficient to demonstrate optimal spatial search experimentally with near unit fidelity.

研究の動機と目的

• 1次元スピン鎖における物理的に現実的な長距離相互作用が、最適な量子空間探索を可能にするかを特定すること。
• 最適な探索から非最適な探索への遷移が生じる α の臨界値を同定すること。
• 実験的に実現可能なシステムにおいて、高忠実度の空間探索が達成可能な条件を確立すること。
• 現実的な設定における位相破壊ノイズが最適な探索に与える影響を分析すること。

提案手法

• 長距離相互作用が 1/|i−j|^α に比例する1次元スピン鎖上で、連続時間量子ウォークを用いて空間探索問題を定式化する。
• 閉じた鎖を想定し、XYスピンモデルを用いて系のハミルトニアンをモデル化し、相互作用強度 Jij ∝ 1/|i−j|^α とする。
• Childs と Goldstone のアルゴリズムを適用し、H_search = γH + H_marked の下で系を時間発展させる。ここで H_marked はオракルハミルトニアンである。
• 最適な時間発展時間 T ∝ 1/ΔE を決定するために、基底状態と第一励起状態のエネルギー差 ΔE を分析する。
• 調和和の解析的近似および漸近展開を用いて、n に従って変化する忠実度 F∞(α) のスケーリングを導出する。
• 有限な n に対して、漸近的スケーリングと忠実度を検証するための数値シミュレーションを実施する。特に α ≲ 1.2 の場合に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離相互作用を有する1次元スピン鎖において、どの α の値に対して最適な空間探索が存在するか？
• RQ2 最適な探索と非最適な探索の領域を分ける臨界的な α の値は何か？
• RQ3 物理的実現可能な鎖の長さと α の値に対して、高忠実度の空間探索（ほぼ1に近い忠実度）を実験的に達成できるか？
• RQ4 位相破壊ノイズは、このモデルにおける空間探索プロトコルの性能にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 大規模な n の極限において、α < 1.5 の場合に O(√n) の実行時間を持つ最適な空間探索が解析的に証明された。
• α ≲ 1.2 の場合にほぼ1に近い忠実度（F∞(α) ≈ 1）が達成され、α < 1.5 の範囲では忠実度のスケーリングが定数に近づく。
• 最適な探索から非最適な探索への遷移は α = 1.5 で発生し、この点で忠実度 F∞(α) は漸近的に0に低下する。
• 数値的シミュレーションにより、最大忠実度に到達するまでの時間が α ≤ 1.3 に対して O(√n) に比例することが確認され、α < 1.5 の範囲ではほぼ最適な性能を維持する。
• プロトコルは位相破壊ノイズに対して頑健であり、現実的なデコherence 条件下でも高い忠実度を維持する。
• このモデルはイオントラップ系において実験的に実現可能であり、α ≈ 1 はすでに達成可能で、α ≲ 1.2 の範囲では調整可能である。