[論文レビュー] Optimal Quaternary Hermitian LCD codes

Liangdong Lü, Xiuzhen Zhan+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、パuncturing、拡張、短縮、および組み合わせ法を用いて、$\mathbb{F}_4$ 上の最適およびほぼ最適な四元数体ヘルミート線形補完双対（LCD）符号を構成する。$[18,7,9]$、$[19,7,9]$、$[20,7,10]$ といった新しい最適符号を提示し、それらは先行研究の上限を改善し、Grasslの符号表の限界に達しており、エンタングルメント補助符号を介した量子誤り訂正への応用がある。

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) codes, which is a class of linear codes introduced by Massey, have been extensively studied in literature recently. It has been shown that LCD codes can help to improve the security of the information processed by sensitive devices, especially against so-called side-channel attacks (SCA) and fault invasive attacks. In this paper, Tables are presented of good quaternary Hermitian LCD codes and there are used in the construction of puncturing, extending, shortening and combination codes. Results including tables 3 of the best-known quaternary Hermitian LCD codes of any length $ n \leq 25$ with corresponding dimension $k$ are presented. In addition, Many of these quaternary Hermitian LCD codes given in this paper are optimal which are saturating the lower or upper bound of Grassl's codetable in \cite{Grassl} and some of them are nearly optimal.

研究の動機と目的

• より良い誤り訂正を実現するため、最小距離を向上させた新しい四元数体ヘルミートLCD符号の構築。
• Grasslの符号表における既知の上限に達している、またはそれに近い最適およびほぼ最適な符号の特定。
• 四元数体ヘルミートLCD符号と最大エンタングルメントエンタングルメント補助量子誤り訂正符号（EAQECC）との関係の探求。
• パuncturing、拡張、短縮、および組み合わせ技術を用いて既存の構成を拡張し、優れたパラメータを持つ符号の生成。
• 長さ $n \leq 25$ の最良既知の四元数体ヘルミートLCD符号の包括的表の提供。

提案手法

• 既知の最適符号に対してパuncturing、拡張、短縮、および組み合わせ技術を適用し、新しい四元数体ヘルミートLCD符号を生成。
• $\mathbb{F}_4$ 上で定義されたヘルミート内積 $ (\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \mathbf{u} \mathbf{v}^\dagger $ を用いて双対性およびLCD条件を定義。
• 符号 $\mathcal{C}$ が $\mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp = \{\mathbf{0}\}$ を満たす場合にのみLCDであると定める基準を適用し、双対と自明な交わりを持つことを保証。
• 符号構築の過程で、すべての可能な座標選択を体系的にテストし、最小距離を最大化。
• 構築された符号をGrasslの符号表と比較して最適性を評価し、上限または下限に達している符号を最適と定義。
• 最小距離を保持したまま、公式 $[[n, 2k-n+c, d; c]]$ を用いて古典的LCD符号から最大エンタングルメントEAQECCを導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $n \leq 25$ の四元数体ヘルミートLCD符号のうち、最小距離に関する理論的上限に達している、またはそれに近いものは何か？
• RQ2 パuncturing、拡張、短縮、および組み合わせ法を用いることで、新しい最適またはほぼ最適な四元数体ヘルミートLCD符号を生成できるか？
• RQ3 構築された四元数体ヘルミートLCD符号は、Grasslの符号表における最良既知線形符号と比べてどう異なるか？
• RQ4 最適な四元数体ヘルミートLCD符号と最大エンタングルメントEAQECCとの関係は何か？
• RQ5 新しい符号は、先行研究と比較して、既存の量子符号の最小距離を向上させられるか？

主な発見

• 本稿では、重み列挙子 $1+393z^9+666z^{10}+\cdots+117z^{18}$ を持つ最適な四元数体ヘルミートLCD符号 $[18,7,9]$ を構築し、それまでの上限を改善した。
• 新しい最適符号 $[19,7,9]$ および $[20,7,10]$ を提示し、後者は以前の構成よりも高い最小距離を達成した。
• $21 \leq n \leq 25$ および $16 \leq k \leq 18$ の範囲、および $[23,4,15]$、$[24,5,15]$、$[25,8,12]$ などの導出符号について、構築された符号は最適であり、Grasslの符号表の上限に達している。
• 符号 $[15,6,7]$ は最適であると確認された。自正交符号の分類において $[15,6,8]$ の符号は存在しないため。
• 符号 $[18,7,9]$、$[19,7,9]$、$[20,7,10]$ は、改善された最大エンタングルメントEAQECC $[[18,7,9;11]]$、$[[19,7,9;12]]$、$[[20,7,10;12]]$ をもたらした。
• 表3は $n \leq 25$ における最小距離の下限および上限を tightened した。太字表記は、先行研究よりの改善を示している。