[論文レビュー] Optimal Regularity for Degenerate Obstacle Problems

John Andersson, Erik Lindgren+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、$p$-ラプラシアン作用素を含む退化した$p$-障害問題の解について、自由境界点における最適な局所的正則性を確立する。障害関数$\phi$が$C^{1,1}$であるとき、解は自由境界点で一様に$C^{1,1}$であることを証明し、$L^\infty$に属する非同次項に対してもこの結果を拡張する。また、空間時間変数における放物型正則性への影響も示唆する。

ABSTRACT

In this paper we discuss the obstacle problem for the $p$-Laplace operator. We prove optimal growth results for the solution. Of particular interest is the point-wise regularity of the solution at free boundary points. The most surprising result we prove is the one for the $p$-obstacle problem: Find the smallest $u$ such that $$ \hbox{div} (| abla u|^{p-2} abla u) \leq 0, \qquad u\geq \phi, \qquad \hbox{in } B_1, $$ with $\phi \in C^{1,1}(B_1)$ and given boundary datum on $\partial B_1$. We prove that the solution is uniformly $C^{1,1}$ at free boundary points. Similar results are obtained in the case of an inhomogeneity belonging to $L^\infty$. When applied to the corresponding parabolic problem, these results imply that any solution which is Lipschitz in time is $C^{1,\frac{1}{p-1}}$ in the spatial variables.

研究の動機と目的

• 自由境界点における$p$-障害問題の解の鋭い局所的正則性推定を確立すること。
• 障害関数$\phi$が$C^{1,1}(B_1)$に属する場合の解の挙動を分析すること。
• $L^\infty$に属する非同次項を含む場合への正則性結果の拡張。
• 空間的正則性が対応する放物型問題に与える影響を探索すること。

提案手法

• 変分不等式を用いて$p$-ラプラシアン作用素を分析する：$\mathrm{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u) \leq 0$ かつ $u \geq \phi$ in $B_1$。
• 自由境界点近傍の局所的挙動を調べるため、比較原理とブロー・アップ解析を適用する。
• $\phi$の$C^{1,1}$正則性を、最適な成長推定を導出するための主要な構造的仮定として用いる。
• 粘性解理論と漸近解析を用いて、解の局所的挙動を特徴付ける。
• 二次バリア関数との比較により、自由境界点における一様な$C^{1,1}$正則性を確立する。
• 解が時間に関してリプシッツ連続であると仮定することで、放物型設定に結果を転送し、空間変数に関して$C^{1,\frac{1}{p-1}}$正則性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 障害関数が$C^{1,1}$であるとき、$p$-障害問題の解が自由境界点で達成する最適な局所的正則性は何か？
• RQ2 $L^\infty$に属する非同次項の存在が、解の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 同次系に限らない場合に、自由境界点における$C^{1,1}$正則性結果を拡張できるか？
• RQ4 解が時間に関してリプシッツ連続である場合、放物型$p$-障害問題の解が空間変数でどの程度の正則性を有するか？
• RQ5 自由境界点近傍の成長推定が、正則性結果の鋭さをどのように決定するか？

主な発見

• 障害関数$\phi$が$C^{1,1}(B_1)$に属するとき、$p$-障害問題の解は自由境界点で一様に$C^{1,1}$である。
• 非同次項が$L^\infty$に属する場合でも、正則性結果は成立する。
• 自由境界点近傍における解の最適な成長は、二次的上界関数によって特徴付けられ、$C^{1,1}$正則性が裏付けられる。
• 放物型$p$-障害問題において、時間に関してリプシッツ連続な任意の解は、空間変数に関して$C^{1,\frac{1}{p-1}}$正則性を有する。
• $C^{1,1}$正則性は鋭く、極値的バリア関数の構成によって、これ以上改善できないことが示された。
• 結果は、比較原理、ブロー・アップ解析、および粘性法の技術の組み合わせにより導出され、さまざまな正則性仮定に対して一貫性を保つ。