[論文レビュー] Optimal representation of the bath response function & fast calculation of influence functional coefficients in open quantum systems with BATHFIT 1

Nikesh S. Dattani, David M. Wilkins+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形最小二乗法を用いて、開放量子系におけるバース反応関数 α(t) を指数関数の和に最適に表現できるオープンソースのMATLABツール、BATHFIT 1 を紹介する。α(t) = ΣK p̄K e^{Ω̄K t} の形にフィッティングすることで、経路積分シミュレーションに不可欠な影響関数係数の計算を高速化する。この手法は、最小限の K で高い精度を達成する。

ABSTRACT

Today's most popular techniques for accurately calculating the dynamics of the reduced density operator in an open quantum system, either require, or gain great computational benefits, from representing the bath response function a(t) in the form a(t)={\Sigma}_k^K p_k e^{O_k t} . For some of these techniques, the number of terms in the series K plays the lead role in the computational cost of the calculation, and is therefore often a limiting factor in simulating open quantum system dynamics. We present an open source MATLAB program called BATHFIT 1, whose input is any spectral distribution functions J(w) or bath response function, and whose output attempts to be the set of parameters {p_k,w_k}_k=1^K such that for a given value of K, the series {\Sigma}_k^k p_k e^{O_k t} is as close as possible to a(t). This should allow the user to represent a(t) as accurately as possible with as few parameters as possible. The program executes non-linear least squares fitting, and for a very wide variety of spectral distribution functions, competent starting parameters are used for these fits. For most forms of J(w), these starting parameters, and the exact a(t) corresponding to the given J(w), are calculated using the recent Pade decomposition technique - therefore this program can also be used to merely implement the Pade decomposition for these spectral distribution functions; and it can also be used just to efficiently and accurately calculate a(t) for any given J(w) . The program also gives the J(w) corresponding to a given a(t), which may allow one to assess the quality (in the w-domain) of a representation of a(t) being used. Finally, the program can calculate the discretized influence functional coefficients for any J(w), and this is computed very efficiently for most forms of J(w) by implementing the recent technique published in [Quantum Physics Letters (2012) 1 (1) pg. 35].

研究の動機と目的

• バース反応関数 α(t) を最小限の項数 K で指数関数の和 ΣK p̄K e^{Ω̄K t} として表現する計算的に効率的な手法を開発すること。
• 開放量子系におけるファインマン経路積分シミュレーションの計算コストを、α(t) を表現するのに必要な指数項の数を最小限に抑えることで低減すること。
• 知的初期値を備えた自動化されたフィッティングプロセスを提供する、堅牢でオープンソースのツール（BATHFIT 1）を提供すること。
• QUAPI や関連する経路積分法に不可欠な離散化された影響関数係数を、高精度かつ高速に計算すること。
• フィットされたパラメータから J(ω) を再構築することで、周波数領域における α(t) の表現の質をユーザーが評価できるようにすること。

提案手法

• 与えられた K に対して、非線形最小二乗フィッティング（Levenberg-Marquardt 法または信頼領域reflective 法）を用いて、α(t) を ΣK p̄K e^{Ω̄K t} の形にフィットする。
• J(ω) が解析的に取り扱えるクラスに属する場合、パデ分解技術を用いて {p̄K, Ω̄K} の高品質な初期推定値を生成する。
• 積分変換（式 5）による数値的計算、または J(ω) に対して閉形式の表現が存在する場合には解析的計算により α(t) を算出する。
• フィットされた α(t) パラメータから J(ω) を再構築し、周波数領域における表現の妥当性を検証する。
• 最近の [1] の進展に基づく、離散化された影響関数係数を効率的に計算するアルゴリズムを実装し、解析的係数導出の補助として Mathematica スクリプトを提供する。
• ドレーブ、ローレンツィアン、オーミック、サブオーミックスペクトルを含む、幅広い J(ω) の形をサポートし、解析的または数値的 α(t) 評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バース反応関数 α(t) は、ΣK p̄K e^{Ω̄K t} の形で、最小限の項数 K を用いて高精度に表現可能か？
• RQ2 多様な J(ω) の形にわたって、非線形フィッティングのための最適な初期パラメータ推定値 {p̄K, Ω̄K} をどのように生成できるか？
• RQ3 BATHFIT 1 を用いることで、開放量子系のシミュレーションにおける影響関数係数の計算にどのような計算的利点が得られるか？
• RQ4 フィットされた α(t) の表現から J(ω) をどれほど正確に再構築できるか？これは近似の妥当性に何を示唆するか？
• RQ5 BATHFIT 1 は、さまざまなスペクトル分布に対して、α(t) と影響関数を計算する汎用ツールとしてどの程度活用可能か？

主な発見

• BATHFIT 1 は、極めて少ない K を用いて α(t) を指数関数の和に高精度にフィットし、経路積分シミュレーションにおける計算コストを顕著に低減する。
• 解析的に取り扱える J(ω) の形（例：ドレーブ、ローレンツィアン、オーミック）に対しては、パデ分解が優れた初期パラメータ推定値を提供し、非線形フィッティングの収束を加速する。
• 本ツールは、QUAPI や関連する数値的経路積分法に不可欠な離散化された影響関数係数を、高速かつ高精度に計算可能にする。
• フィットされたパラメータから J(ω) を再構築することで、ユーザーは周波数領域における α(t) の表現の質を検証できる。
• サブオーミックおよびスーパーオーミックの形を含む広範なスペクトル分布クラスにおいて、高い精度が達成され、解析的または数値的 α(t) 評価が可能である。
• Mathematica の補助スクリプトの導入により、解析的に既知の α(t) に対して影響関数係数を解析的に導出でき、再現性と洞察の向上が図られる。