[論文レビュー] Optimal Robustness Results for Some Bayesian Procedures and the Relationship to Prior-Data Conflict

Luai Al‐Labadi, Michael Evans|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Statistical Methods and Bayesian Inference参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ベイズ統計における相対的信頼推論の最適ロバスト性特性を確立し、事前分布とデータの間に矛盾がない場合、それらがロバストであることを示している。事前分布とデータの間の矛盾がロバスト性を損なうことを示し、そのような矛盾を検出する定量的指標を提供することで、推論の前にその矛盾を評価する必要性を強化している。

ABSTRACT

The robustness to the prior of Bayesian inference procedures based on a measure of statistical evidence are considered. These inferences are shown to have optimal properties with respect to robustness. Furthermore, a connection between robustness and prior-data conflict is established. In particular, the inferences are shown to be effectively robust when the choice of prior does not lead to prior-data conflict. When there is prior-data conflict, however, robustness may fail to hold.

研究の動機と目的

• ε-汚染事前分布上の周辺的事前分布の変動に対して、相対的信頼推論の最適ロバスト性を確立すること。
• 相対的信頼比のロバスト性結果の解釈における曖昧さを解消すること。
• 周辺的および条件付き事前分布への推論の感度を定量的に測定すること。
• 事前分布とデータの矛盾とベイズ推論におけるロバスト性の失敗との関係を明確にすること。
• 事前分布とデータの間に矛盾がない場合に、推論のための推奨される手法として相対的信頼推論を使用することを支援すること。

提案手法

• パラメータ値に関する統計的証拠を測定するために、事後密度と事前密度の比である相対的信頼比を用いる。
• Savage-Dickeyの恒等式を適用して、相対的信頼比を事前分布および条件付き予測密度の形で表現する。
• ε-汚染事前分布における最適ロバスト性を導出し、Wasserman（1989）らの先行研究を一般化する。
• 異なる事前分布における予測密度比に基づく定量的感度測度を導入する。
• 正規モデルにおける事前分布とデータの矛盾を検出するため、尾部確率および比に基づく診断法を用いる。
• シミュレーションおよび数値例を用いて、事前分布とデータの矛盾が相対的信頼比におけるロバスト性の欠如および極端な感度を引き起こす様子を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的信頼推論が事前分布の選択に対して最適にロバストである条件は何か？
• RQ2 事前分布とデータの矛盾は、ベイズ推論におけるロバスト性の失敗とどのように関係しているか？
• RQ3 事前分布とデータの矛盾を検出するための定量的指標は何か？また、推論が事前仮定にどの程度感度を示すかを測る指標は何か？
• RQ4 事前分布とデータの矛盾が存在する場合、相対的信頼比の挙動はどのように変化するか？
• RQ5 事前分布とデータの矛盾が大きな値を引き起こす場合、相対的信頼比は意味的に解釈可能か？

主な発見

• 事前分布とデータの間に矛盾がない限り、ε-汚染事前分布上での周辺的事前分布の変動に対して、相対的信頼推論は最適にロバストであることが保証される。
• 例えば、真のパラメータが事前分布の裾にある場合に、事前分布とデータの矛盾が生じると、相対的信頼比における極端な感度が示され、ロバスト性が失われる。
• σ²についてのデータと事前分布の矛盾が生じるがμについては生じない場合、比 $ m_{Q,T}(T(x)|V(T(x)))/m_T(T(x)|V(T(x))) $ はμ₁ = -2、τ₁² = 1のとき0.87に低下し、矛盾とロバスト性の欠如を示している。
• μについての矛盾があるがσ²についてはない場合、比はμ₁ = 2、τ₁² = 1のとき55,478,630に達し、深刻なロバスト性の欠如を示している。
• 矛盾が生じる状況では、積分 $ \int_{0}^{ u} RB((\bar{x},\sigma^{2})|x) \Pi_1(d\sigma^{-2}) = 8,046,933,962 $ が最悪の挙動と極端な感度を示している。
• 連続モデルでは最大尤度推定値における相対的信頼比は無限大に発散するが、矛盾状況での大きな値は高水準の証拠を示すのではなく、ロバスト性の欠如を示している。