[論文レビュー] Optimal Scalar Linear Codes for Some Classes of The Two-Sender Groupcast Index Coding Problem

A Chinmayananda, B. Sundar Rajan|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2送信者グループキャストインデックスコーディング問題（TGICP）の特定のクラスに対して、3つの互いに素な1送信者部分問題からの最適コードを活用することで、最適なスカラー線形コードを構築する手法を提案する。複数の1送信者グループキャストインデックスコーディング問題（SGICP）の共同拡張という概念を導入し、最適コードが部分問題のコードから構築可能なクラスを同定し、最適性の必要条件を提示することで、同定されたケースにおいて最小の集約コード長を達成する。

ABSTRACT

The two-sender groupcast index coding problem (TGICP) consists of a set of receivers, where all the messages demanded by the set of receivers are distributed among the two senders. The senders can possibly have a set of messages in common. Each message can be demanded by more than one receiver. Each receiver has a subset of messages (known as its side information) and demands a message it does not have. The objective is to design scalar linear codes at the senders with the minimum aggregate code length such that all the receivers are able to decode their demands, by leveraging the knowledge of the side information of all the receivers. In this work, optimal scalar linear codes of three sub-problems (considered as single-sender groupcast index coding problems (SGICPs)) of the TGICP are used to construct optimal scalar linear codes for some classes of the TGICP. We introduce the notion of joint extensions of a finite number of SGICPs, which generalizes the notion of extensions of a single SGICP introduced in a prior work. An SGICP $\mathcal{I}_E$ is said to be a joint extension of a finite number of SGICPs if all the SGICPs are disjoint sub-problems of $\mathcal{I}_E$. We identify a class of joint extensions, where optimal scalar linear codes of the joint extensions can be constructed using those of the sub-problems. We then construct scalar linear codes for some classes of the TGICP, when one or more sub-problems of the TGICP belong to the above identified class of joint extensions, and provide some necessary conditions for the optimality of the construction.

研究の動機と目的

• メッセージが2つの送信者に分散され、受信者が任意の側情報と要求を持つ2送信者グループキャストインデックスコーディング問題（TGICP）に対処すること。
• TGICPの部分問題間の構造的関係を活用して、集約コード長を短縮すること。
• 互いに素な1送信者部分問題からの最適コードを用いて、最適スカラー線形コードを構築するフレームワークを開発すること。
• 最適性が保たれる複数のSGICPの共同拡張のクラスを導入し、その特徴を特定すること。
• 特定のTGICPクラスにおいて、構築されたコードの最適性の必要条件を確立すること。

提案手法

• TGICPが3つの互いに素な1送信者グループキャストインデックスコーディング問題（SGICPs）に分解され、それらの間には共有されるメッセージがない。
• 共同拡張の概念が導入され、複数の互いに素なSGICPsを組み合わせることで1つの問題を形成し、それぞれが部分問題として残る。
• 最適スカラー線形コードが部分問題のコードから構築可能な共同拡張のクラスが同定される。
• 構成はフィッティング行列と有限体上でのランク最小化に依存し、最適コード長は部分問題のフィッティング行列の最小ランクの和によって決定される。
• 行列補完技術が用いられ、共同拡張の結合フィッティング行列に対して特定の構成が行われ、部分問題の補完の行空間が全体の解において保持されるようにする。
• 部分問題のフィッティング行列と共同拡張のランク関係に基づいて、最適性の必要条件が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2送信者グループキャストインデックスコーディング問題（TGICP）の特定のクラスに対して、その1送信者部分問題からの最適コードを用いて最適スカラー線形コードを構築できるか？
• RQ2 部分問題にどのような構造的条件が満たされていると、共同問題の最適コードが個々の部分問題の最適コードから導けるか？
• RQ3 複数のSGICPの共同拡張の概念をどのように形式化すれば、コード構築における最適性が保たれるか？
• RQ4 共同拡張の文脈において、構築されたコードが最適であるための必要条件は何か？
• RQ5 共同問題の集約コード長が、個々の部分問題のコード長の和に等しくなるのはどのような条件下か？

主な発見

• 3つの互いに素なSGICPsの共同拡張を形成するTGICPのインスタンスのクラスにおいて、最適スカラー線形コード長は、部分問題のフィッティング行列の最小ランクの和で与えられる。
• 特定の例（$\mathbb{F}_2$ を用いて）に対して最適コード構築法が提供され、合計コード長が5に達し、理論的下界と一致する。
• 構成はランク階層 $r_1 \geq r_{\{1,2\}} \geq r_2$ が成り立つ場合に有効であり、問題の相互作用ダイグラフは $\mathcal{H}_{62}$ である。
• 共同拡張フレームワークにより、部分問題の最適補完が、共同フィッティング行列のグローバルに最適な補完に組み合わせて構築可能である。
• 最適性の必要条件は、結合フィッティング行列の行空間が、共同補完の最初の $r_{\{1,2\}}$ 行によって張られることであり、これにより部分問題の構造が保持される。
• 本手法は、1送信者インデックスコーディングに関する先行結果を一般化し、共有メッセージ配分を伴う2送信者グループキャスト設定へと拡張する。