[論文レビュー] Optimal Scalar Linear Index Codes for Three Classes of Two-Sender Unicast Index Coding Problem

A Chinmayananda, B. Sundar Rajan|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

Cooperative Communication and Network Coding被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、二送信者ユニキャストインデックスコーディング問題（TGICP）の特定のクラスに対して、単一送信者グループキャストインデックスコーディング問題（SGICP）の共同拡張を活用することで、最適なスカラ線形インデックスコードを提案する。一般化された共同拡張の概念を導入し、部分問題が特定のクラスの共同拡張に属する場合、TGICPの最適コードを構築できることを示し、最適性の必要条件を提示する。

ABSTRACT

The two-sender groupcast index coding problem (TGICP) consists of a set of receivers, where all the messages demanded by the set of receivers are distributed among the two senders. The senders can possibly have a set of messages in common. Each message can be demanded by more than one receiver. Each receiver has a subset of messages (known as its side information) and demands a message it does not have. The objective is to design scalar linear codes at the senders with the minimum aggregate code length such that all the receivers are able to decode their demands, by leveraging the knowledge of the side information of all the receivers. In this work, optimal scalar linear codes of three sub-problems (considered as single-sender groupcast index coding problems (SGICPs)) of the TGICP are used to construct optimal scalar linear codes for some classes of the TGICP. We introduce the notion of joint extensions of a finite number of SGICPs, which generalizes the notion of extensions of a single SGICP introduced in a prior work. An SGICP $\mathcal{I}_E$ is said to be a joint extension of a finite number of SGICPs if all the SGICPs are disjoint sub-problems of $\mathcal{I}_E$. We identify a class of joint extensions, where optimal scalar linear codes of the joint extensions can be constructed using those of the sub-problems. We then construct scalar linear codes for some classes of the TGICP, when one or more sub-problems of the TGICP belong to the above identified class of joint extensions, and provide some necessary conditions for the optimality of the construction.

研究の動機と目的

• メッセージが二送信者に分散され、受信者が側情報を持ち、特定のメッセージを要求する二送信者グループキャストインデックスコーディング問題（TGICP）に対処すること。
• 単一送信者グループキャストインデックスコーディング問題（SGICP）から導かれる部分問題の構造的性質を活用して、TGICPにおける集約コード長を短縮すること。
• 複数の互いに素なSGICPの拡張概念を一般化し、より複雑なコード構成を可能にする共同拡張の概念を一般化すること。
• 個々のSGICPの最適コードから最適スカラ線形コードを構築できる共同拡張のクラスを同定すること。
• 部分問題が同定された共同拡張クラスに属する場合、TGICPにおける構築コードの最適性を保証する必要条件を導出すること。

提案手法

• 有限個のSGICPの共同拡張の概念を導入し、各SGICPがより大きなSGICPの互いに素な部分問題であると定義する。
• 個々のSGICPの最適スカラ線形コードから共同拡張の最適スカラ線形コードを構築できる共同拡張のクラスを定義する。
• TGICPを、各部分が単一送信者グループキャストインデックスコーディング問題である部分問題の組み合わせとして定式化する。
• 部分問題の最適スカラ線形コードを用いて、全体のTGICPに対するスカラ線形コードを構築し、最小の集約長を保証する。
• 共同拡張の構造と受信者の側情報に基づいて、構築コードの最適性の必要条件を確立する。
• 共同拡張における部分問題の互いに素性を活用して、コード構成中に干渉が生じないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二送信者ユニキャストインデックスコーディング問題の最適スカラ線形コードが、その部分問題の最適コードからいつ構築可能か。
• RQ2 単一送信者グループキャストインデックスコーディング問題の拡張概念を、複数の互いに素な部分問題を扱えるようにどのように一般化できるか。
• RQ3 どの構造的性質が、共同問題の最適コードがその構成要素の最適コードから導けるかを可能にするか。
• RQ4 構築コードが集約コード長の観点でTGICPにおいて最適であることを保証する必要条件は何か。
• RQ5 どのクラスのTGICPにおいて、共同拡張フレームワークが最適スカラ線形コードをもたらすか。

主な発見

• 本稿では、個々の部分問題の最適スカラ線形コードから共同問題の最適スカラ線形コードを構築できるSGICPの共同拡張のクラスを同定した。
• この構築法により、一つ以上の部分問題が同定された共同拡張クラスに属するTGICPインスタンスに対して、最小の集約コード長が保証される。
• 共同拡張の構造と受信者の側情報に基づいて、構築コードの最適性の必要条件が導出された。
• 複数の互いに素なSGICPを統合する共同拡張を許容することで、従来の単一SGICP拡張に関する先行研究を一般化した。
• 結果として、特定のTGICPクラスに対して、より単純な単一送信者部分問題の最適コードを用いて、最適スカラ線形コードを体系的に構築可能であることが示された。
• このアプローチにより、複数送信者インデックスコーディングにおける最適コードのモジュラー設計が、互いに素で解ける部分問題への構造的分解を活用することで可能になった。