[論文レビュー] Optimal scalar products in the Standard Linear Viscoelastic Model

Marta Pellicer, J. Solà‐Morales|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 4被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、第三階の標準線形粘弾性モデルの解に対する最適な指数的減衰率を確立する。これは、無限小生成作用素が正規となる新たな同等な内積を構成することにより達成され、完全な正規直交固有関数基底が得られる。主な貢献は、多くのパrameter設定において、半群生成作用素がこの新しい計量で正規であることを証明し、スペクトル指数と一致する鋭い減衰推定値が得られることである。

ABSTRACT

We study the third order in time linear dissipative wave equation known as the Standard Linear Viscoelastic Model, that appears also as the linearization of the so-called Moore-Gibson-Thompson equation in Nonlinear Acoustics. We complete the description in a paper by R. Marchand et al. (2012) of the spectrum of the generator of the corresponding group of operators and show that, apart from some exceptional values of the parameters, this generator can be made to be a normal operator with a new scalar product, with a complete set of orthogonal eigenfunctions. Using this property we also obtain sharper decay estimates for the solutions as time tends to infinity, both when the operator is normal or not.

研究の動機と目的

• 標準線形粘弾性モデルにおける生成作用素のスペクトル解析を、特に時間に関して第三階の散逸的波動方程式の文脈で完成させること。
• 無限小生成作用素が新たな同等内積において正規となる条件を特定すること。
• 生成作用素が正規である場合とそうでない場合の両方において、$t \to \infty$ のときの解に対する鋭い最適減衰推定値を導出すること。
• さまざまなヒルベルト空間設定におけるスペクトル理論と関数解析的手法を統合・拡張することで、従来の減衰率に関する結果を統一すること。

提案手法

• 半群の無限小生成作用素 $A$ が正規となる新たな内積 $G$ を構成し、完全な正規直交固有関数基底の存在を保証する。
• 作用素 $L$ の固有値に関連する固有方程式の特性方程式のスペクトル解析を用い、根 $\lambda_j^n$ の振る舞いを $m_1, m_2$（カルダノの判別式の根）に基づいて分類する。
• 非正規の場合に対処するため、有限次元の $\mathcal{H}_i^1$（固有値が半単純でない可能性がある）と無限次元の $\mathcal{H}_i^0$（$A$ が正規となる）にヒルベルト空間を分解する。
• 線形代数の既知の結果を用いて、有限次元部分空間 $\mathcal{H}_i^1$ 上に同等な内積を定義し、半群のノルムが $\sigma_{\text{max}}(A_1) + \varepsilon$ の任意の $\varepsilon > 0$ に近い速度で減衰することを保証する。
• 新たな内積 $G$ が元のノルムと同等であることを確立し、新しい計量が適切に定義され、物理的に意味を持つことを保証する。
• 正規の場合には正規直交固有関数基底を用い、非正規の場合には摂動論的議論を適用して、スペクトル指数 $\sigma_{\text{max}}$ と一致する最適減衰率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パrameter $\alpha, \beta > 0$ および $L$ の固有値に関して、無限小生成作用素 $A$ が新たな内積において正規となる条件は何か？
• RQ2 生成作用素が正規でない場合であっても、標準線形粘弾性モデルの解の最適減衰率を正確に特徴づけることができるか？
• RQ3 非半単純固有値が存在する場合に、スペクトル指数 $\sigma_{\text{max}}$ と解の実際の減衰率との関係は何か？
• RQ4 元のノルムと同等であり、$A$ を正規とし、完全な正規直交固有関数基底を有する新たな内積をどのように構成できるか？
• RQ5 支配的固有値が実数でない場合であっても、減衰率 $-1/\beta$ が最適減衰率として達成可能であり、これは $A$ のスペクトルとどのように関係するか？

主な発見

• 無限小生成作用素 $A$ が新たな同等内積 $G$ において正規であることは、カルダノの判別式の根 $m_1, m_2$ を含む特定の条件を満たす場合に限り成立する。この条件は、系の特性方程式から導出される。
• 生成作用素 $A$ が正規である場合、系は完全な正規直交固有関数基底を有し、$\|U(t)\|_G^2 \leq \|U(0)\|_G^2 e^{2\sigma_{\text{max}} t}$ を用いた正確なスペクトル分解と最適減衰推定が可能になる。
• 最適減衰率 $\sigma_{\text{max}}$ は、ある $n$ に対して $\operatorname{Re}(\lambda_2^n)$ または $-1/\beta$ であり、これは明示的な解がその減衰率を示すことで鋭い境界であることが確認される。
• 非正規の場合、すなわち一部の固有値が重複しており、幾何的重複度が代数的重複度より小さい場合であっても、最適減衰率は依然として $\sigma_{\text{max}}$ であり、有限次元スペクトル部分空間上に同等な内積を構成することで達成される。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、有限次元部分空間 $\mathcal{H}_i^1$ 上に新たな内積 $G_{1,\varepsilon}$ を定義でき、$\|e^{A_1 t}\|_{G_{1,\varepsilon}} \leq e^{(\sigma_{\text{max}}(A_1) + \varepsilon)t}$ を満たす。ここで $\sigma_{\text{max}}(A_1) < -1/\beta$ であるため、支配的減衰は正規部分により制御される。
• $G_0$ と $G_{1,\varepsilon}$ の直交的拡張として構成された新たな内積 $G'$ は、元のノルムと同等であり、このノルムにおいて最適減衰率 $\sigma_{\text{max}}$ が達成され、スペクトル指数の鋭さが裏付けられる。