[論文レビュー] Optimal sequential testing of two simple hypotheses in presence of control variables

Andrey Novikov|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2008

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、データ分布に影響を与える制御変数が存在する状況下で、2つの単純仮説を区別するための最適逐次検定手順を開発する。制御方針、停止ルール、意思決定ルールを同時に最適化することで、最適戦略が尤度比に基づく停止境界をとることを確立し、第1種および第2種の誤り確率制約下で期待される標本サイズを最小化する。

ABSTRACT

Suppose that at any stage of a statistical experiment a control variable $X$ that affects the distribution of the observed data $Y$ can be used. The distribution of $Y$ depends on some unknown parameter $θ$, and we consider the classical problem of testing a simple hypothesis $H_0: θ=θ_0$ against a simple alternative $H_1: θ=θ_1$ allowing the data to be controlled by $X$, in the following sequential context. The experiment starts with assigning a value $X_1$ to the control variable and observing $Y_1$ as a response. After some analysis, we choose another value $X_2$ for the control variable, and observe $Y_2$ as a response, etc. It is supposed that the experiment eventually stops, and at that moment a final decision in favour of $H_0$ or $H_1$ is to be taken. In this article, our aim is to characterize the structure of optimal sequential procedures, based on this type of data, for testing a simple hypothesis against a simple alternative.

研究の動機と目的

• 制御変数がデータ分布に影響を与える場合の最適逐次検定手順の構造を特定すること。
• 第1種および第2種の誤り確率に制約を課した下で、期待される標本サイズを最小化すること。
• 制御、停止、意思決定ルールの共同最適性の必要十分条件を導出すること。
• 古典的逐次分析を、実験的制御を段階的に選択することで効率を向上させられる状況に拡張すること。
• 最適停止ルールが両仮説下で期待値が有限である条件を確立すること。

提案手法

• 逐次検定問題を、観測データおよび制御に適応する制御方針 $\chi$、停止ルール $\psi$、意思決定ルール $\phi$ の3つ組としてモデル化する。
• 尤度比過程 $Z_n^\chi$ を用いて、$H_0$ および $H_1$ の下での証拠蓄積を追跡し、最適停止は閾値 $A$ および $B$ に基づく。
• 動的計画法および最適停止理論を用いて、再帰的方程式を介して価値関数および最適性条件を導出する。
• 最適停止ルールを尤度比のしきい値処理として導出し、$\psi_n^\chi$ を閾値関数 $l_n^\chi$ との比較によって決定する。
• 両仮説下での期待標本数の重み付き和を最小化するベイズ拡張を導入し、修正された最適性条件を導出する。
• 最適意思決定ルール $\phi_n$ は尤度比に関するしきい値インジケータであり、$\lambda_0 f_{\theta_0}^n \leq \lambda_1 f_{\theta_1}^n$ のとき $H_0$ を棄却する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御変数がデータ分布に影響を与える場合、逐次検定手順の最適構造は何か？
• RQ2 制御方針、停止ルール、意思決定ルールをどのように共同最適化することで、誤り制約下で期待される標本サイズを最小化できるか？
• RQ3 最適停止ルールが帰無仮説および対立仮説の両方で期待値が有限であるための条件は何か？
• RQ4 古典的逐次分析と比較して、制御変数の導入が尤度比に基づく停止境界にどのように影響を与えるか？
• RQ5 両仮説下での期待標本数を組み込んだことで、最適性フレームワークをベイズ設定に拡張できるか？

主な発見

• 最適停止ルールは尤度比過程 $Z_n^\chi$ のしきい値処理として特徴づけられ、$Z_n^\chi$ が境界 $A$ および $B$ を超えたときに停止する。
• 最適意思決定ルールは $\phi_n = I_{\{\lambda_0 f_{\theta_0}^n \leq \lambda_1 f_{\theta_1}^n\}}$ で与えられ、与えられた誤り制約下でのリスクを最小化する。
• 最適制御方針 $\chi$ は、$H_0$ の下で尤度比過程 $Z_n^\chi$ が上マルティンゲールとなり、$H_1$ の下で下マルティンゲールとなるように保証し、最適性を達成する。
• 条件 $1 + R(\infty) \geq \lambda_0$ が成り立つ場合、最適停止ルールは $\tau = \inf\{n \geq 1 : Z_n^\chi \leq A\}$ または $\geq B$ の形を取り、期待値が有限であることを保証する。
• 条件 $1 + R(\infty) < \lambda_0$ が成り立つ場合、最適戦略は $H_1$ の下で無限大の期待標本サイズを引き起こす可能性があり、非効率である可能性を示す。
• 両仮説下での期待標本数の重み付き和を最小化するベイズ拡張により、$\pi_0 E_{\theta_0}^\chi \tau_\psi + \pi_1 E_{\theta_1}^\chi \tau_\psi$ を含む修正された最適性条件が導出される。