[論文レビュー] Optimal short-time measurements for Hamiltonian learning

Assaf Zubida, Elad Yitzhaki+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 44被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、短時間ダイナミクスを用いた短距離相互作用を有する量子ハミルトニアンの学習のための最適でシステムサイズに依存しない測定プロトコルを提案する。ランダムおよびデランドマイズド状態準備と局所的測定を活用することで、時間微分観測量の線形逆問題を用いた効率的な再構成が可能となり、ハミルトニアンの対称性と可換な観測量のグループ化を活用することで誤差スケーリングが向上する。

ABSTRACT

Characterizing noisy quantum devices requires methods for learning the underlying quantum Hamiltonian which governs their dynamics. Often, such methods compare measurements to simulations of candidate Hamiltonians, a task which requires exponential computational complexity. Here, we propose efficient measurement schemes based on short-time dynamics which circumvent this exponential difficulty. We provide estimates for the optimal measurement schedule and reconstruction error, and verify these estimates numerically. We demonstrate that the reconstruction requires a system-size independent number of experimental shots, and identify a minimal set of state preparations and measurements which yields optimal accuracy for learning short-ranged Hamiltonians. Finally, we show how grouping of commuting observables and use of Hamiltonian symmetries improve the accuracy of the Hamiltonian reconstruction.

研究の動機と目的

• 長時間ダイナミクスからのハミルトニアン学習における指数的古典的計算複雑性に対処する。
• ハミルトニアン再構成のための多体ダイナミクスのシミュレーションにおける計算ボトルネックを克服する。
• 最小限の実験的ショット数と古典的計算量で正確な再構成を保証する測定プロトコルを開発する。
• 短距離ハミルトニアンに対して最適な正確性を保証する最小固定初期状態および測定基底の集合を特定する。
• 時間反転対称性と可換な観測量のグループ化を活用して、再構成誤差をさらに低減する。

提案手法

• ハミルトニアンパラメータに線形に依存する短時間ダイナミクスを用いることで、指数的シミュレーション複雑性を回避する。
• 再構成を線形系 $\vec{b} = K\vec{c}$ として定式化し、$\vec{b}$ を時間微分測定値、$K$ を初期状態と観測量から事前に計算する。
• ハミルトニアン係数 $\vec{c}$ を測定された $\vec{b}$ から回復するために、疑似逆行列 $K^+ = (K^T K)^{-1} K^T$ を適用する。
• 重複するトモグラフィーを格子上で実装することで、初期状態と測定基底を固定し、保証された正確性を得るデランドマイズドプロトコルを実装する。
• 可換な観測量をグループ化し、時間反転対称性（例：$Y \mapsto -Y$）を活用することで、系統的誤差を低減し、スケーリングを改善する。
• 再構成誤差を最小化するため、ハミルトニアンの粗い事前知識に基づいて最適な測定時間を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短時間ダイナミクスは、最小限の実験的ショット数でシステムサイズに依存しないハミルトニアン学習を可能にするか？
• RQ2 短距離ハミルトニアン学習において再構成誤差を最小化する最適な測定スケジュールと時間は何か？
• RQ3 時間反転不変性などの対称性は、再構成誤差のスケーリングにどのように影響するか？
• RQ4 固定でランダムでない初期状態および測定基底の集合は、ランダムプロトコルと同等の正確性を達成できるか？
• RQ5 可換な観測量のグループ化は、必要な測定数をどれほど削減でき、誤差スケーリングをどれほど改善できるか？

主な発見

• プロトコルはシステムサイズに依存しない再構成を達成し、システムサイズに関係なく一定数の実験的ショットで十分である。
• 時間反転対称性のおかげで、$XXZ$ ハミルトニアンでは再構成誤差が $N^{-1/3}$ にスケーリングされ、一般の $N^{-1/4}$ スケーリングを上回る。
• 再構成誤差の系統的誤差を最小限に抑えるために、ハミルトニアンの粗い事前知識に基づいて数値的に最適な測定時間を推定する。
• デランドマイズドプロトコルは、固定で最小限の初期状態および測定基底の集合を用いることで、ランダム化された手法と同等の正確性を保証する。
• 可換な観測量のグループ化と対称性の活用により、測定のオーバーヘッドと再構成誤差の両方が低減され、特に対称的ハミルトニアンにおいて顕著である。
• 一般プロトコルと比較して、誤差スケーリングにおける $\log n$ 要因を効果的に排除し、高次元系における効率性を向上させる。